[枚举]Luogu P1268 树的重量

题目描述

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树，其叶节点表示一个物种，两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在，一个重要的问题是，根据物种之间的距离，重构相应的“进化树”。

令N={1..n}，用一个N上的矩阵M来定义树T。其中，矩阵M满足：对于任意的i，j，k，有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足：

1．叶节点属于集合N；

2．边权均为非负整数；

3．dT(i,j)=M[i,j]，其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

如下图，矩阵M描述了一棵树。

树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M，它所能表示树的重量是惟一确定的，不可能找到两棵不同重量的树，它们都符合矩阵M。你的任务就是，根据给出的矩阵M，计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树，这棵树的总重量为15。

输入输出格式

输入格式：

输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2<n<30)。其后n-l行，给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线)，矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。

输入数据以n=0结尾。

输出格式：

对于每组输入，输出一行，一个整数，表示树的重量。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5
5 9 12 8
8 11 7
5 1
4
4
15 36 60
31 55
36
0

输出样例#1： 复制

15
71

题解

• 盗用一张图先
• 这张图的树的重量为(1,2)+蓝色部分
• 那么蓝色部分怎么求？
• 发现，(1,3)和(2,3)都是经过蓝色部分的
• 把它们相加发现：(1,2)+2*蓝色部分
• 而且已知(1,2)，蓝色部分就用容易求
• 用字母表示就是:((1,i)+(j,i)-(1,j))/2
• 解决这个问题后，考虑怎么构造树
• 这棵树要满足：
• ①符合矩阵  ②每条边都要加一次，而且最多一次
• 假如我们前i-1个都构造完了，那么怎么构造i个
• 题目要求重量要尽量小，显然就枚举加入哪条边中，取最小值
• Ojbk！！

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int inf=(1<<30);
int d[60][60],n;
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)==1&&n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                 scanf("%d",&d[i][j]),d[j][i]=d[i][j];
        int ans=d[1][2];   
        for(int i=3;i<=n;i++)
        {
            int t=inf; 
            for(int j=2;j<i;j++) t=min(t,(d[1][i]+d[j][i]-d[1][j])/2);
            ans+=t;
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}