[数位dp][状压dp] Jzoj P3458 密码

Description

在又一次消灭林登·万的战斗中，指挥官moreD缴获了一个神奇的盒子。盒子异常的坚固，以至于完全无法摧毁，唯一打开的方式是通过盒上的密码锁。

经过仔细的调查，研究人员一致认为这个盒子中隐藏了林登·万和他的弟弟林登·图的秘密。然而moreD使用了许多办法，都没能打开这个盒子。最后只好将这个盒子封存在了仓库的底层。

事情并没有结束。moreD之所以没能打开这个盒子，是因为老牌的调查员/邪教徒LCJ隐瞒了它的调查结果。LCJ经过不懈的努力，得出了结论。即：给你一个长度不超过17的由0~9组成的无前导0的字符串S，S中的数字排列组成的无前导零的能被17整除的整数中字典序第K小的那个数就是密码。

尽管解开了密码，然而处于对未知的恐惧，LCJ最终并没有打开盒子。然而另一个资历较浅的调查员/邪教徒，你，YDMan不知通过什么办法得知了上述信息，并得到了S和K。现在你决定要解开这个密码，来取得“终极的智慧”。

Input

一行，一个由0~9组成的字符串S和一个不超过17！的正整数K。

Output

一行，即密码。数据保证有解。

Sample Input

输入1：

17 1

输入2：

2242223 2

Sample Output

输出1：

17

输出2：

2242232

Data Constraint

对于40%的数据，字符串S长度<=12,K<=2*10^6。

对于100%的数据，字符串S长度<=17,K<=17!。

Hint

后记：

事实上，盒子中装的正是伦道夫·卡特当年穿越银匙之门的银色钥匙。YDMan在“掌(bei)握(xia)智(huai)慧(le)”智慧，终于成为了一个伟大的“诗(huan)人(zhe)”。而林登·万则和和他的弟弟继续使用林登·图钥匙与指挥官moreD进行不屈不挠的斗争。

题解

题目大意：给你一个由0~9组成的字符串，将其位置排序后选可以被17整除的字典序为k的数
设f[s][i]为选数字的状态为s，取摸后的余数为i的方案数
我们可以先将所有位数先排序
转移方程就是f[i^(1<<(j-1))][(w+l[j]*q)%17]+=f[i][w]
i是枚举的状态，j是第j位（也就是第j个数），w就是枚举的余数，q是后导零的个数
那么现在考虑如果有相同的数字，要除去重复的情况，也就是除以所有的数的f[c[j]]的乘积
c[j]就是j的个数
这样就可以有效解决它的重复的方案数
如果求最终的答案呢？
答案要求字典序第k小的
那么我们可以从高位开始选，从小的开始加
如果现在在到第i位选j
那么方案数就是f[q|(1<<i-1)][r+l[j]*mi[n-i]]
q表示前面选的状态，r表示前面选的方案数
对于当前一个f[q][r]
如果大于等于k的话也就是说它的方案数在当前选的状态内，那么当前枚举的数是有效的，直接输出
如果小于等于k，将k减去当前状态和余数的方案数

代码

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <cstring>
 5 using namespace std;
 6 long long f[1<<17][17],l[18],mi[18],jc[18],c[18],k,n;
 7 char s[20];
 8 int main()
 9 {
10     scanf("%s %lld",s,&k);
11     n=strlen(s);
12     for (int i=1;i<=n;i++) l[i]=s[i-1]-'0';
13     sort(l+1,l+n+1);
14     int p=(1<<n)-1;
15     f[p][0]=1;
16     for (int i=p;i>0;i--)
17     {
18         int q=1;
19         for (int j=1;j<=n;j++) if ((i&(1<<(j-1)))==0) q*=10,q%=17;
20         for (int j=1;j<=n;j++)
21             if (i&(1<<(j-1)))
22                 for (int w=0;w<=16;w++) f[i^(1<<(j-1))][(w+l[j]*q)%17]+=f[i][w];
23     }
24     jc[0]=1;
25     for (int i=1;i<=17;i++) jc[i]=jc[i-1]*i;
26     for (int i=p;i>0;i--)
27     {
28         for (int j=0;j<=9;j++) c[j]=0;
29         for (int j=1;j<=n;j++) if ((i&(1<<(j-1)))==0) c[l[j]]++;
30         for (int j=0;j<=9;j++)
31             for (int w=0;w<=16;w++)
32                 f[i][w]=f[i][w]/jc[c[j]];
33     }
34     int q=0,r=0; bool boo=0;
35     mi[0]=1;
36     for (int i=1;i<=n;i++) mi[i]=(mi[i-1]*10)%17;
37     for (int i=1;i<=n;i++)
38     {
39         int o=-1;
40         for (int j=1;j<=n;j++)
41             if ((q&(1<<(j-1)))==0)
42             {
43                 if (o==l[j]) continue;
44                 o=l[j];
45                 int w=(17-(r+l[j]*mi[n-i])%17)%17;
46                 if (i==1&&l[j]==0) continue;
47                 if (f[q|1<<(j-1)][w]>=k)
48                 {
49                     q|=1<<(j-1);
50                     (r+=l[j]*mi[n-i])%17;
51                     printf("%d",l[j]);
52                     boo=1; 
53                     break;
54                 }
55                 else k-=f[q|1<<(j-1)][w];
56             }
57         if (!boo) { printf("-1"); return 0; }
58     }
59     for (int i=1;i<=n;i++) if (((q&1<<(i-1)))==0) printf("%d",l[i]);
60     return 0;
61 }