[dp][单调队列] Jzoj P2569 股票交易

题目描述

最近  ext{lxhgww}lxhgww 又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。

通过一段时间的观察， ext{lxhgww}lxhgww 预测到了未来 TT 天内某只股票的走势，第 ii 天的股票买入价为每股 AP_iAPi​，第 ii 天的股票卖出价为每股 BP_iBPi​（数据保证对于每个 ii，都有 AP_i geq BP_iAPi​≥BPi​），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第 ii 天的一次买入至多只能购买 AS_iASi​ 股，一次卖出至多只能卖出 BS_iBSi​ 股。

另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔 WW 天，也就是说如果在第 ii 天发生了交易，那么从第 i+1i+1 天到第 i+Wi+W 天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过  ext{MaxP}MaxP。

在第 11 天之前， ext{lxhgww}lxhgww 手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，TT 天以后， ext{lxhgww}lxhgww 想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入输出格式

输入格式：

输入数据第一行包括 33 个整数，分别是 TT， ext{MaxP}MaxP，WW。

接下来 TT 行，第 ii 行代表第 i-1i−1 天的股票走势，每行 44 个整数，分别表示 AP_i, BP_i, AS_i, BS_iAPi​, BPi​, ASi​, BSi​。

输出格式：

输出数据为一行，包括 11 个数字，表示  ext{lxhgww}lxhgww 能赚到的最多的钱数。

输入输出样例

输入样例#1：

5 2 0
2 1 1 1
2 1 1 1
3 2 1 1
4 3 1 1
5 4 1 1

输出样例#1：

3

说明

对于 30\%30% 的数据，0leq W<Tleq 50,1leq ext{MaxP}leq500≤W<T≤50,1≤MaxP≤50

对于 50\%50% 的数据，0leq W<Tleq 2000,1leq ext{MaxP}leq500≤W<T≤2000,1≤MaxP≤50

对于 100\%100% 的数据，0leq W<Tleq 2000,1leq ext{MaxP}leq20000≤W<T≤2000,1≤MaxP≤2000

对于所有的数据，1leq BP_ileq AP_ileq 1000,1leq AS_i,BS_ileq ext{MaxP}1≤BPi​≤APi​≤1000,1≤ASi​,BSi​≤MaxP

题解

• 其实这题可以用dp来做，设f[i][j]为第i天拥有数量为j的股票能赚的最大金额
• 那么转移其实很显然，有四种情况
• ①凭空买，f[i][j]=-j*ap
• ②不买不卖，f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i][j])
• ③在之前的基础上买，f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][k]-(j-k)*ap)
• 为什么只有i-w-1呢，因为i-w-2其实在第二种情况时候已经转移到i-w-1了，所以可以只做i-w-1
• ④在之前的基础上卖，f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][k]+(k-j)*bp)
• 那么怎么用单调队列优化呢，考虑一下直接dp是三次方的，要做到二次方
• 三四的情况的式子，f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][k]-j*ap+k*ap)，f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][k]-j*ap)+k*ap
• 第四种情况也是类似的，那么这样的话可以发现，其实就是在找一个滑动窗口的最大值
• 显然可以单调队列

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m,w,ans,f[2010][2010],Q[2010];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&w);
    memset(f,128,sizeof(f));
    for (int i=1,ap,bp,as,bs;i<=n;i++)    
    {
        scanf("%d%d%d%d",&ap,&bp,&as,&bs);
        for (int j=0;j<=as;j++) f[i][j]=-ap*j;
        for (int j=0;j<=m;j++) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);
        if (i<=w) continue;
        int head=1,tail=0;
        for (int j=0;j<=m;j++)
        {
            while (head<=tail&&Q[head]<j-as) head++;
            while (head<=tail&&f[i-w-1][Q[tail]]+Q[tail]*ap<=f[i-w-1][j]+j*ap) tail--;
            Q[++tail]=j;
            if (head<=tail) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][Q[head]]+Q[head]*ap-j*ap);
        }
        head=1; tail=0;
        for (int j=m;j>=0;j--)
        {
            while (head<=tail&&Q[head]>j+bs) head++;
            while (head<=tail&&f[i-w-1][Q[tail]]+Q[tail]*bp<=f[i-w-1][j]+j*bp) tail--;
            Q[++tail]=j;
            if (head<=tail) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][Q[head]]+Q[head]*bp-j*bp);
        }
    }
    for (int i=0;i<=m;i++) ans=max(ans,f[n][i]);
    printf("%d",ans);
}