BZOJ2431_逆序对数列_KEY

转自YXDs

题目传送门
不知道今天是怎么了，可能是空调吹多了吧，一直不在状态，连递推题我都做不来了……（扎Zn了老Fe……）
然而，不管环境如何恶劣，我们仍要努力学习，为了自己的明天而奋斗。（说的好像跟真的一样）
其实这题就是一个递推，现在我们考虑第i个数，定义f[i][j]表示序列里有i个数，逆序对的组数为j的方案数。
因为第i个数的权值就是i，则不管第i个数插到序列里的哪个位置，都会和在它后面的数形成逆序对，因此第i个数插到序列里最多形成i-1个逆序对，最少形成0个。
所以，我们就得到了递推公式：f[i][j]=Σf[i-1][j-k] (j-i+1<=k<=j)
但是现在的时间复杂度仍然是O(n^3)的，n的范围是1000，铁定TLE。
但是看到上面的递推式中有Σ，于是我们就想到了前缀和，降掉一维的复杂度，过掉这道题非常轻松。
另外，由递推式可发现，第i个数的所有逆序对方案数都只跟第i-1个数的逆序对方案数有关，因此可以使用滚动数组来存储，减少内存的使用。
（虽然在这题里并没有什么卵用，在BZOJ上实测出来大概省了80+kb的空间吧……）
注意：本题需要考虑中途答案为负的情况，虽然只要加上p就行了，但是一定要注意考虑，别忘了。
O(n^3)算法（主要是怕自己会忘）：

#include <cstdio>  
#define p 10000  
using namespace std;  

int n,m,f[1010][1010];  

int main(void){  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for (int i=1; i<=n; ++i) f[i][0]=1;  
    for (int i=1; i<=n; ++i)  
        for (int j=1; j<=m; ++j)  
            for (int k=0; k<=j&&k<i; ++k)  
                f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-k])%p;  
    printf("%d",f[n][m]);  
    return 0;  
}  

O(n^2)算法（AC代码）：

#include <cstdio>  
#define p 10000  
using namespace std;  

int n,m,f[1010],c[1010];  

int main(void){  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    f[0]=1;  
    for (int i=1; i<=n; ++i){  
        for (int j=0; j<=m; ++j) c[j]=(c[j-1]+f[j])%p;  
        for (int j=0; j<=m; ++j)  
            if (j>0) if (j>=i) f[j]=(c[j]-c[j-i]+p)%p;  
                    else f[j]=c[j];  
                else f[j]=1;  
    }  
    printf("%d",f[m]);  
    return 0;  
}  

附：公式改进法，我在洛谷上看见的。
由上面的那个递推公式可知：f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+…+f[i-1][j-i+1]
又f[i][j-1]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j-2]+…+f[i-1][j-i]
所以f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-i]
虽然这个公式的变形在这题中并没有什么特别大的用处，但是这种思想是非常好的，常常可以把一些非常复杂的公式变得简单些，公式的特点也更明显一些。
所以我们还是有必要学习一下这种思想的。
然后就是递推了，其他都和上面的代码差不多的。

#include <cstdio>  
#define p 10000  
using namespace std;  

int n,m,f[2][10010];  

int main(void){  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    f[0][0]=1;  
    for (int i=1; i<=n; ++i)  
        for (int j=0; j<=m; ++j)  
            if (j>0) if (j>=i) f[i%2][j]=(f[(i-1)%2][j]+f[i%2][j-1]-f[(i-1)%2][j-i]+p)%p;  
                        else f[i%2][j]=(f[(i-1)%2][j]+f[i%2][j-1])%p;  
                else f[i%2][j]=(f[(i-1)%2][j])%p;  
    printf("%d",f[n%2][m]>0?f[n%2][m]:-1);  
    return 0;  
}