【烽火传递】dp + 单调队列优化

题目描述

烽火台又称烽燧，是重要的防御设施，一般建在险要处或交通要道上。一旦有敌情发生，白天燃烧柴草，通过浓烟表达信息：夜晚燃烧干柴，以火光传递军情。在某两座城市之间有 n 个烽火台，每个烽火台发出信号都有一定的代价。为了使情报准确的传递，在 m 个烽火台中至少要有一个发出信号。现输入 n、m 和每个烽火台发出的信号的代价，请计算总共最少需要多少代价，才能使敌军来袭之时，情报能在这两座城市之间准确的传递！

输入格式

第一行有两个数 n，m 分别表示 n 个烽火台，在任意连续的 m 个烽火台中至少要有一个发出信号。
第二行为 n 个数，表示每一个烽火台的代价。

输出格式

一个整数，即最小代价。

样例数据 1

输入

5 3 
1 2 5 6 2

输出

4

备注

【数据范围】

1<=n，m<=1,000,000，保证答案在 int 范围内。
1<=n，m<=1,000,000，保证答案在 int 范围内。

题目分析

首先考虑dp，因为每m个点中必须选择2个，那么对于当前点（i），$f[i] = min{f[j]}+ val[i] (i - m + 1 ≤ j < i )$

这样的每次要去寻找最小值，复杂度报表，考虑dp优化。

由于要取最小值，那么就可以维护一个单调递增的单调队列，每次入队维护单调性，并删除队首不在区间中的数，然后队首就是要找的最小值。

这样下来，时间复杂度$o(n)$

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5, oo = 0x3f3f3f3f;
struct node{
    int val, id;
};
node que[N];
int cost[N], head, tail, i, f[N];
int n, m;

inline int read(){
    int i = 0, f = 1; char ch = getchar();
    for(; (ch < '0' || ch > '9') && ch != '-'; ch = getchar());
    if(ch == '-') f = -1, ch = getchar();
    for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())
        i = (i << 3) + (i << 1) + (ch - '0');
    return i * f;
}

inline void wr(int x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x > 9) wr(x / 10);
    putchar(x%10+'0');
}

int main(){
    n = read(), m = read();
    for(i = 1; i <= n; i++) cost[i] = read();
    head = 1, tail = 1;
    for(i = 1; i <= n; i++){
        while(que[head].id < i - m && head <= tail) head++;
        f[i] = que[head].val + cost[i];
        while(tail >= head && que[tail].val >= f[i]) tail--;
        que[++tail] = (node){f[i], i};
//        for(int j = head; j <= tail; j++) cout<<que[j].val<<" ";cout<<endl;
    }
    int ans = oo;
    for(int i = n - m + 1; i <= n; i++)
        ans = min(ans, f[i]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}