这几天一直再学习这些内容,也没有发一些博客,现在我觉得差不多了
首先基础是Miller_raibin随机化检测素数,顾名思义,随机化也就是有几率不对,但是很低,适用于大数快速检测,因为大数已经超出了我们打表的范围了
对于这个算法基础是费马小定理 和二次探测定理
1. Fermat定理:若n是奇素数,a是任意正整数(1≤ a≤ n−1),则 a^(n-1) ≡ 1 mod n。2. 推演自Fermat定理(具体过程我没看懂,Orz), 如果n是一个奇素数,将n−1表示成2^s*r的形式,r是奇数,a与n是互素的任何随机整数,那么a^r ≡ 1 mod n或者对某个j (0 ≤ j≤ s−1, j∈Z) 等式a^(2jr) ≡ −1 mod n 成立。
他们的命题前提条件都是如果n是素数……,但是反过来却不一定对,但有可能对,我们只要把这个可能无限的放大,就好了
https://blog.csdn.net/semiwaker/article/details/60142102
首先快速乘法,快速幂
typedef long long ll; ll retmin; ll q_mul(ll a,ll b,ll c) { ll res = 0; a %= c; while(b) { if(b & 1) res = (res + a) % c; b >>= 1; a = (a + a) % c; } return res; } ll q_pow(ll a,ll b,ll c) { ll res = 1; a %= c; while(b) { if(b & 1)res = q_mul(res,a,c); b >>= 1; a = q_mul(a,a,c); } return res; }
然后就是随机化验证,对于随机数我用的是网上的经验取值,2,7,61这样基本上达到100%
bool miller_rabin(ll n) { if(n == 2 || n == 7 || n ==61)return true; if(n < 2 || !(n & 1))return false; if(witness(2,n) && witness(7,n) && witness(61,n)) return true; return false; }
如何验证呢?
对于费马小定理,我们直接去看a的n-1次方有点太暴力,最优的就是把以上两个定理的逆定理合起来一起验证!
我们考虑把费马小定理中的n - 1分解为 2^t*u
ll u = n - 1; int t = 0; while(!(u & 1)) { u >>= 1; t++; }
把2分解出来才能取构造平方~~去验证二次探测定理
if(u == 1 || u == n - 1)return true; while(t--) { u = q_mul(u,u,n); if(u == n - 1) return true; } return false;
如果一旦出现n-1的值那么代表提供了二次探测,一开始值若为1代表提供了费马小,所以对于这次测试,它能够通过
接下来我们进行大数分解算法,其实主要目的就是去找它的因子
void Find(ll n) { if(n == 1)return; if(miller_rabin(n)) { retmin = min(retmin,n); return; } ll p = n; while( p >= n) p = pollard_rho(n,rand() % (n - 1) + 1); Find(p); Find(n / p); }
如代码,我们尝试去找n的因子,前面特判一些,如果n不是素数,那就有因子,我们用pollard算法去寻找
一开始我们找因子就是一个一个去试,效率非常低,但是我们如果能够利用组合,我提供一堆数,两两组合求差,用差去尝试,那样效率会大大提升,你可能觉得没什么区别,但是你可以去查一下生日悖论
他很好的说明了这个算法的高效性
再优化一点呢,就是随机数我们有自己的生成机制和步长限制(循环),所以,
ll pollard_rho(ll n,ll c) { ll x,y,d,i = 1,k = 2; x = rand() % ( n - 1) + 1; y = x; while(1) { x = (q_mul(x,x,n) + c) % n; d = gcd((x - y + n) % n,n); if(d > 1 && d < n)return d; if(x == y)return n; if(++i == k) { k <<= 1; y = x; } } }
如果x == y代表我们随机选择的参数c不好,达到了循环,所以重新进行寻找