LightOJ1336 Sigma Function —— 质因子分解、约数和为偶数

题目链接：https://vjudge.net/problem/LightOJ-1336

1336 - Sigma Function

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Sigma function is an interesting function in Number Theory. It is denoted by the Greek letter Sigma (σ). This function actually denotes the sum of all divisors of a number. For example σ(24) = 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Sigma of small numbers is easy to find but for large numbers it is very difficult to find in a straight forward way. But mathematicians have discovered a formula to find sigma. If the prime power decomposition of an integer is

Then we can write,

For some n the value of σ(n) is odd and for others it is even. Given a value n, you will have to find how many integers from 1 to n have even value of σ.

Input

Input starts with an integer T (≤ 100), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 10¹²).

Output

For each case, print the case number and the result.

Sample Input	Output for Sample Input
4 3 10 100 1000	Case 1: 1 Case 2: 5 Case 3: 83 Case 4: 947

题意：

求1到n（n<=1e12）内，有多少个数的约数和为偶数。

题解：

1.将一个数n进行质因子分解，得到 pi 和 ai，其中pi为第i个质因子，ai为第i个质因子的个数，

那么这个数的约数和：f(n) = (1+2^1+2^2……2^a1)*(1+3^1+3^2……3^a2)……*(1+pi^1+pi^2……pi^ai)*……

解释：从每一个括号中挑选一个数出来相乘，就得到一个约数。在根据组合数的思想，总的就得到所有约数的和。

2.可知：偶数可以是偶数乘以偶数，也可以是奇数乘以偶数；而奇数只能是奇数乘以奇数。所以，统计奇数要比统计偶数方便，所以总体思想就是用总的个数减去约数和为奇数的个数。

3.那么，要使 f(n) 为奇数，必须满足每个括号中的数之和为奇数。可知，当pi = 2时，括号里的数必定为奇数。因为2的正数次方均为偶数，再加上一个1，就为奇数。所以：

3.1 当n不含有2这个质因子时：每个括号内ai必须为偶数，当ai为偶数就说明了括号内有 ai+1个奇数相加，和为奇数。因此，当每个质因子的个数ai均为偶数时，n可以表示为 n = x^2，即表明当n为一个平方数时，f(n)为奇数。

3.2 当n含有2这个质因子时：可知对于2来说，无论它的个数为多少，对应括号里的和都为奇数，那么只要同时满足其他括号里的数之和都为奇数，即满足3.1的要求，那么f(n)为奇数。此时 n = 2*x^2。（注：当n = 2*2*2*x^2时， n = 2*(2*x)^2，即同样满足 2*x^2的通项公式）

3.3 综上，当 n = x^2 或者 n = 2*x^2时， f(n)为奇数。所以在n之内，有sqrt(n) + sqrt(n/2) 个数的约数和为奇数。 

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int mod = 1e9+7;
const int MAXM = 1e5+10;
const int MAXN = 5e5+10;

int main()
{
    int T, kase = 0;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        LL n;
        scanf("%lld",&n);
        LL ans = n - (LL)sqrt(n) - (LL)sqrt(n/2);
        printf("Case %d: %lld
", ++kase,ans);
    }
}