51Nod 机器人走方格 V3 —— 卡特兰数、Lucas定理

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1120

题解：

1.看到这种题，马上就想到了卡特兰数。但卡特兰数最快也要O(n)的时间复杂度去递推或者预处理，而n的范围是1e9，所以行不通。但发现Mod的值为10007，感觉突破口在里头，但没有头绪。

2.后来发现了Lucas定理：

C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p，p为素数

这个式子大大缩小了n的范围，因此就可以直接上卡特兰数的公式了：

h(n) = C(2n,n) - C(2n,n+1)，n=0,1,2...

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
//const int MOD = 1e9+7;
const int MAXN = 1e6+10;

const int MOD = 10007;
int qpow(int x, int y)
{
    int s = 1;
    while(y)
    {
        if(y&1) s = (s*x)%MOD;
        x = (x*x)%MOD;
        y >>= 1;
    }
    return s;
}

int A[2*MOD+10], inv[2*MOD+10];
int C(int n, int m)
{
    if(n<m) return 0;
    return (((A[n]*inv[n-m])%MOD)*inv[m])%MOD;
}

int lacus(int n, int m)
{
    int s = 1;
    while(n&&m)
    {
        s = (s*C(n%MOD,m%MOD))%MOD;
        n /= MOD;
        m /= MOD;
    }
    return s;
}

void init()
{
    A[0] = inv[0] = 1;
    for(int i = 1; i<=2*MOD; i++)
    {
        A[i] = (i*A[i-1])%MOD;
        inv[i] = qpow(A[i],MOD-2);
    }
}

int main()
{
    init();
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        n--;
        int ans = (lacus(2*n,n)-lacus(2*n,n+1)+MOD)%MOD;
        ans = (ans*2)%MOD;
        printf("%d
", ans);
    }
}