整数划分总结

--- 整数划分解报告 ---- By Debugcool
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1.问题描述：
    给定一个正整数N和K

    1.> 将n划分成若干正整数之和的划分数。
    2.> 将n划分成k个正整数之和的划分数。
    3.> 将n划分成最大数不超过k的划分数。
    4.> 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
    5.> 将n划分成若干不同整数之和的划分数。

2.问题分类：总的来说这些都是背包问题；

第一个问：就是一个完全背包，物品有 1 --- N 种，第 i 种物品的重量为 i ，价值为 i ；这很好解决：

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= N;i++)
            for (j = i;j <= N;j++)
                dp[j] += dp[j-i];
其中 dp[j] 是用前 i 个数能构成 j 的种类数，则结果就为 dp[N]

看完这个问题了，那么 第3个问就知道了 ， 即用前 K 种物品所得结果，只需把第一层循环的 i <= N 改为 i <= K 即可；

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= K;i++)
            for (j = i;j <= N;j++)
                dp[j] += dp[j-i];   结果同样为 dp[N] ;

那么第四个问呢，想想是奇数，那么 i = 2，4，6，…… 等等值就不能取了，因为这些物品不合要求，这很简单啊  i++ 改为 i += 2 不就行了；

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= N;i+=2)
            for (j = i;j <= N;j++)
                dp[j] += dp[j-i];   结果同样为 dp[N] ;

再看看第五个问，若干个不同的？？？想到了什么，就是一种物品最多只能用一次？？？这是什么，经典的 01背包 啊，与第一个问的不同就是第二层循环的顺序而已；

        dp[0] = 1;
        for (i = 1;i <= N;i++)
            for (j = n;j >= i ;j--)
                dp[j] += dp[j-i];

最后我们来思考第二个问：
         
   要求只要 K 个，这怎么办呢？？？想想特殊情况…… 如果 K = 1 呢，只能是 N 咯，若果 N = 0 呢， 结果只能是 0 中可能啊，那同样N < K 的话，不可能分啊 结果为 0 ，好，特殊的考虑完了，那么我们再考虑，分的结果中有没有 1 ， 如果有 那么就把剩下的 N - 1 分成 K - 1 份 ， 如果没有呢，那么我们先拿出 K 份 给每一堆 一个1， 再把剩下的 N - K 分成 K 份就行了啊，好了，至此，递归方法出来了：  

int work(int n,int k)
{
    if (k == 1)
        return 1;
    if (n == 0)
        return 0;
    if (n < k)
        return 0;
    return work(n-k,k) + work(n-1,k-1);
}

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总结：背包问题是基础啊~~~


Debugcool---------------