Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
示例图演示:
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
下面使用java程序演示Prim算法：
代码如下:
package com.itheima.primer;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;
/**
* 最小生成树(普里姆算法(Prim算法))
* @author zhangming
* @date 2016/04/20
*/
public class MinTreePrimer {
private static List<Vertex> visitedVertexs,leftedVertexs; //分别为添加到集合U中的节点集和剩余的集合V中的节点集
private static List<Edge> searchEdges;
//初始化图的信息
public static void initGraph(Graph g){
visitedVertexs = new ArrayList<Vertex>();
leftedVertexs = new ArrayList<Vertex>();
searchEdges = new ArrayList<Edge>();
Scanner sc = new Scanner(System.in);
System.out.print("输入顶点数: ");
int vertexNumber = sc.nextInt();
System.out.print("请输入边数: ");
int edgeNumber = sc.nextInt();
String[] allVertex = new String[vertexNumber];
String[] allEdge = new String[edgeNumber];
System.out.println("=================================");
System.out.println("请输入各个顶点:");
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
for(int i=0;i<vertexNumber;i++){
System.out.print("顶点"+(i+1)+":");
allVertex[i] = scanner.nextLine();
}
System.out.println("=================================");
for(int i=0;i<edgeNumber;i++){
System.out.print("输入边(Vi,Vj)中的顶点名称和权值W(如:A B 7): ");
allEdge[i] = scanner.nextLine();
}
g.vertex = new Vertex[allVertex.length];
g.edge = new Edge[allEdge.length];
g.minWeight = 0;
for(int i=0;i<allVertex.length;i++){
g.vertex[i] = new Vertex();
g.vertex[i].vName = allVertex[i];
leftedVertexs.add(g.vertex[i]); //初始化剩余点集合
}
for(int i=0;i<allEdge.length;i++){
g.edge[i] = new Edge();
g.edge[i].startVertex = new Vertex();
g.edge[i].endVertex = new Vertex();
String edgeInfo[] = allEdge[i].split(" ");
g.edge[i].startVertex.vName = edgeInfo[0];
g.edge[i].endVertex.vName = edgeInfo[1];
g.edge[i].weight = Integer.parseInt(edgeInfo[2]);
}
}
public static void onChangeVertex(Vertex vertex){
visitedVertexs.add(vertex); //添加初始节点,作为默认的开始节点
leftedVertexs.remove(vertex);
}
public static Vertex findOneVertex(Graph g){
int minValue = Integer.MAX_VALUE;
Vertex findVertex = new Vertex();
Edge findEdge = new Edge();
for(int i=0;i<visitedVertexs.size();i++){
for(int j=0;j<leftedVertexs.size();j++){
Vertex v1 = visitedVertexs.get(i);
Vertex v2 = leftedVertexs.get(j); //获取两个顶点的名称
for(int k=0;k<g.edge.length;k++){
String startName = g.edge[k].startVertex.vName;
String endName = g.edge[k].endVertex.vName;
if((v1.vName.equals(startName) && v2.vName.equals(endName))
||(v1.vName.equals(endName) && v2.vName.equals(startName))){
if(g.edge[k].weight < minValue){
findEdge = g.edge[k];
minValue = g.edge[k].weight;
if(leftedVertexs.contains(v1)){ //会调用对象的equals方法比较对象,需重写equals方法
findVertex = v1;
}else if(leftedVertexs.contains(v2)){
findVertex = v2;
}
}
}
}
}
}
g.minWeight+= minValue;
searchEdges.add(findEdge);
return findVertex;
}
public static void prim(Graph g){
while(leftedVertexs.size()>0){ //直到剩余节点集为空时结束循环
Vertex findVertex = findOneVertex(g);
onChangeVertex(findVertex);
}
System.out.print("
最短路径包含的边: ");
for(int i=0;i<searchEdges.size();i++){
System.out.print("("+searchEdges.get(i).startVertex.vName+","+searchEdges.get(i).endVertex.vName+")"+" ");
}
System.out.println("
最短路径长度: "+g.minWeight);
}
public static void main(String[] args) {
Graph g = new Graph();
initGraph(g);
onChangeVertex(g.vertex[0]);
prim(g);
}
}
/**
* 顶点类Vertex
*/
class Vertex{
String vName; //顶点的名称
@Override
public boolean equals(Object obj) {
if(obj instanceof Vertex){
Vertex vertex = (Vertex)obj;
return this.vName.equals(vertex.vName);
}
return super.equals(obj);
}
}
/**
* 边类Edge
*/
class Edge{
Vertex startVertex;
Vertex endVertex;
int weight;
}
/**
* 图的存储结构
*/
class Graph{
Vertex[] vertex; //顶点集
Edge[] edge; //边集
int minWeight; //最短路径
}
运行结果截图:
