数论问题算法模板

1. 欧几里得算法

求两个正整数的最大公约数，时间复杂度 O(logn)O(logn)。

C++ 代码

int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

2. 扩展欧几里得算法

裴蜀定理：若 a,ba,b 是整数,且 (a,b)=d(a,b)=d，那么对于任意的整数 x,y,ax+byx,y,ax+by 都一定是 dd 的倍数，特别地，一定存在整数 x,yx,y，使 ax+by=dax+by=d 成立。

扩展欧几里得算法可以在 O(logn)O(logn) 的时间复杂度内求出系数 x,yx,y。

C++ 代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1; y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a/b) * x;
return d;
}

3. 线性筛素数

可以在 O(n)O(n) 的时间复杂度内求出 1∼n1∼n 之间的所有质数。

C++ 代码

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
for (int j = 0; j < cnt && i * primes[j] <= n; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}

4. 欧拉函数

欧拉函数，一般记为 ϕ(n)ϕ(n)，表示小于等于 nn 的数中与 nn 互质的数的个数。
如果 n=pa11×pa22×…×pammn=p1a1×p2a2×…×pmam,
则 ϕ(n)=n(1−1p1)…(1−1pm)ϕ(n)=n(1−1p1)…(1−1pm).

欧拉函数的常用性质：

如果 n,mn,m 互质，则 ϕ(nm)=ϕ(n)ϕ(m)ϕ(nm)=ϕ(n)ϕ(m);
小于等于 nn，且与 nn 互质的数的和是 ϕ(n)×n/2ϕ(n)×n/2;
欧拉定理：如果 n,an,a 互质，且均为正整数，则 aϕ(n)≡1(mod n)aϕ(n)≡1(mod n);
下面的代码可以在 O(n)O(n) 的时间复杂度内求出 1∼n1∼n 中所有数的欧拉函数：

int primes[N], euler[N], cnt;
bool st[N];

// 质数存在primes[]中，euler[i] 表示
// i的欧拉函数
void get_eulers(int n)
{
euler[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i])
{
primes[cnt ++ ] = i;
euler[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; j < cnt && i * primes[j] <= n; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0)
{
euler[i * primes[j]] = euler[i] * primes[j];
break;
}
euler[i * primes[j]] = euler[i] * (primes[j] - 1);
}
}
}