【BZOJ-2725】故乡的梦 Dijsktra + Tarjan + Dinic + BFS + 堆

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Solution

一道非常强的图论题

网上很多做法是直接求出最短路，然后直接用线段树维护，这种做法有反例(这句话划掉吧..都是从策爷博客看来的

首先我们考虑，如果ST不连通，那显然全部输出Infinity

我们先做两遍Dijsktra，求出S出发到所有点的单源最短路ds[]，以及T出发到所有点的单源最短路dt[]

那么我们发现，如果删除的边不存在最短路径上，那么显然答案全都是ds[T]

考虑利用ds[]和dt[]的信息，构建一种新的图最短路径图Gs 即满足ds[u]+val(u-->v)=ds[v]的边所构成的图，同理做出Gt

那么我们需要找到GsGt中的割边，因为只有割这种边，才会使得最短路径发生变化

那么问题在于如何求，Tarjan的方法，正确性位置，不妨考虑最小割，

所以我们假定每条边容量为1，我们在Gs上进行增广，如果MinCut>=2，那么任意删一条边对结果不造成影响，因为只需要知道是否>=2所以增广两次即可

那么当最小割为1时，我们需要求割边，这时候利用Tarjan，

在残余网络上跑tarjan求出所有SCC，记belong[u]为点u所在SCC的编号。显然有belong[s]!=belong[t]（否则s到t有通路，能继续增广）。
①对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)能够出现在某个最小割集中，当且仅当belong[u]!=belong[v]；
②对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)必定出现在最小割集中，当且仅当belong[u]==belong[s]且belong[v]==belong[t]。应用:BZOJ1797

求出这些割边后，我们知道，删除非割边并不影响答案，所以输出ds[T]，只有割边会对答案有影响

同样的，Gs中的割边反向就是Gt中的割边

那么我们求出这些割边，cut(1~K)，显然我们可以离线的处理出每条割边的答案，然后O（1）询问

我们对最短路径图Gs再进行改动，其中的割边我们设val=1，非割边val=0，然后我们可以求出Gs，Gt中S/T到每个点的最短路（0/1）构成

这个实现起来可以利用 BFS+双端队列

然后我们可以离线的处理出每个cut的答案，这个过程可以利用multiset/heap/线段树来实现

堆的方法：

维护一个小根堆，关键字是ds[u]+val(u-->v)+dt[v]，具体的方法就是当前计算的是now，先将之前的状态（Dt[v]>=Sum-now)弹出，然后把当前的所有出边加入到堆中，然后用堆顶答案去更新接下来的值

线段树的方法：

区间覆盖取最小的经典模型，先修改，再DFS一遍整棵线段树即可

multiset的方法：

扫描cut的时候，记录所有可行的答案，然后取最小来更新即可

总的时间复杂度是$O((N+M)+NlogN)$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
void Freopen() {freopen("dream.in","r",stdin); freopen("dream.out","w",stdout);}
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define LL long long
#define MAXN 200010
#define MAXM 200010
int N,M,Q;
struct EdgeNode{int next,to,val;}edge[MAXM<<1];
int head[MAXN],cnt=1;
void AddEdge(int u,int v,int w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].val=w;}
void InsertEdge(int u,int v,int w) {AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,w);}

#define Pa pair<LL,int>
priority_queue<Pa,vector<Pa>,greater<Pa> >q;
#define INF (1LL<<50)
LL ds[MAXN],dt[MAXN];
int S,T;
void Dijsktra(int ss,int tt,LL dis[MAXN])
{
    for (int i=1; i<=N; i++) dis[i]=INF;
    q.push(make_pair(0,ss)); dis[ss]=0;
    while (!q.empty())
        {
            int now=q.top().second;
            long long Dis=q.top().first;
            q.pop();
            if (Dis>dis[now]) continue;
            for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
                if (dis[now]+edge[i].val<dis[edge[i].to])
                    dis[edge[i].to]=dis[now]+edge[i].val,
                    q.push(make_pair(dis[edge[i].to],edge[i].to));
        }    
}
//=================================================================
struct SideNode{int next,to,val,from;}side[MAXM];
int first[MAXN],num=1;
void AddSide(int u,int v,int w) {num++; side[num].from=u; side[num].next=first[u]; first[u]=num; side[num].to=v; side[num].val=w;}

struct RoadNode{int next,to,cap,from,val;}road[MAXM<<1];
int last[MAXN],tot=1;
void AddRoad(int u,int v,int w) {tot++; road[tot].next=last[u]; last[u]=tot; road[tot].cap=w; road[tot].to=v; road[tot].from=u;}
void InsertRoad(int u,int v,int w) {AddRoad(u,v,w); AddRoad(v,u,0);}
void BuildGraph()
{
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=head[i]; j; j=edge[j].next)
            {
                if (ds[i]+edge[j].val==ds[edge[j].to])
                    InsertRoad(i,edge[j].to,1);
                if (dt[edge[j].to]==dt[i]+edge[j].val)
                    AddSide(i,edge[j].to,0);
            }
}
int h[MAXN];
bool bfs()
{
    queue<int>que;
    for (int i=1; i<=N; i++) h[i]=-1;
    que.push(S); h[S]=0;
    while (!que.empty())
        {
            int now=que.front(); que.pop();
            for (int i=last[now]; i; i=road[i].next)
                if (road[i].cap && h[road[i].to]==-1)
                    h[road[i].to]=h[now]+1,que.push(road[i].to);
        }
    return h[T]!=-1;
}
int dfs(int now,int low)
{
    if (now==T) return low;
    int w,used=0;
    for (int i=last[now]; i; i=road[i].next)
        if (road[i].cap && h[road[i].to]==h[now]+1)
            {
                w=dfs(road[i].to,min(low-used,road[i].cap));
                used+=w;
                road[i].cap-=w; road[i^1].cap+=w;
                if (used==low) return low;
            }
    if (!used) h[now]=-1;
    return used;
}
int dinic()
{
    int tim=2,tmp=0;
    while (bfs() && tim--) {tmp+=dfs(S,1);}
    return tmp;
}
//=================================================================
int dfn[MAXN],low[MAXN],DFN,stack[MAXN],top,scc,size[MAXN],belong[MAXN];
bool visit[MAXN];
void Tarjan(int now)
{
    low[now]=dfn[now]=++DFN; visit[now]=1;
    stack[++top]=now;
    for (int i=last[now]; i; i=road[i].next)
        {
            if (road[i].cap==0) continue;
            if (!dfn[road[i].to])
                Tarjan(road[i].to),low[now]=min(low[now],low[road[i].to]);
            else 
                if (visit[road[i].to]) low[now]=min(low[now],dfn[road[i].to]);
        }
    int tp=0;
    if (dfn[now]==low[now])
        {
            scc++;
            while (now!=tp)
                tp=stack[top--],size[scc]++,visit[tp]=0,belong[tp]=scc;
        }
}
void Tarjan() {for (int i=1; i<=N; i++) {if (!dfn[i]) Tarjan(i);}}
//=================================================================
LL Ds[MAXN],Dt[MAXN];
bool mark[MAXN];
void BFS1()
{
    deque<int>dq;
    for (int i=1; i<=N; i++) Ds[i]=INF,mark[i]=0;
    dq.push_back(S); Ds[S]=0;
    while (!dq.empty())
        {
            int now=dq.front(); dq.pop_front();
            if (mark[now]) continue; else mark[now]=1;
            for (int i=last[now]; i; i=road[i].next)
                if (!(i&1))
                    {
                        Ds[road[i].to]=min(Ds[now]+road[i].val,Ds[road[i].to]);
                        if (road[i].val) dq.push_back(road[i].to); else dq.push_front(road[i].to);
                    }
        }
}
void BFS2()
{
    for (int i=1; i<=N; i++) Dt[i]=INF,mark[i]=0;
    dq.push_back(T); Dt[T]=0;
    while (!dq.empty())
        {
            int now=dq.front(); dq.pop_front();
            if (mark[now]) continue; else mark[now]=1;
            for (int i=first[now]; i; i=side[i].next)
                {
                    Dt[side[i].to]=min(Dt[now]+side[i].val,Dt[side[i].to]);
                    if (side[i].val) dq.push_back(side[i].to); else dq.push_front(side[i].to);
                }
        }
}
//=================================================================
struct Node
{
    int u,v; LL val;
    Node(int u=0,int v=0,LL val=0) 
        : u(u),v(v),val(val) {}
    bool operator < (const Node & A) const
        {return val>A.val;}
};
priority_queue<Node>heap;
vector<int>vec[MAXN];
int cut[MAXN];
LL ans[MAXN];
void Solve()
{
    for (int i=1; i<=N; i++) if (ds[i]!=INF) vec[Ds[i]].push_back(i);
    for (int i=0; i<scc; i++)
        {
            int sz=vec[i].size();
            while (!heap.empty() && Dt[heap.top().v]>=Ds[T]-i) heap.pop();
            for (int j=0; j<=sz-1; j++)
                {
                    int now=vec[i][j];
                    for (int k=head[now]; k; k=edge[k].next)
                        if (Ds[edge[k].to]>i && cut[now]!=edge[k].to)
                            heap.push( Node(now,edge[k].to,ds[now]+edge[k].val+dt[edge[k].to]) );
                }
            if (!heap.empty()) ans[i]=heap.top().val;
        }
}
int main()
{
    N=read(),M=read();
    for (int x,y,z,i=1; i<=M; i++)
        x=read(),y=read(),z=read(),InsertEdge(x,y,z);
    S=read(),T=read();
    Dijsktra(S,T,ds); Dijsktra(T,S,dt);
    if (ds[T]==INF) {Q=read(); while (Q--) puts("Infinity"); return 0;}
    BuildGraph();
    if (dinic()>=2) {Q=read(); while (Q--) printf("%lld
",ds[T]); return 0;}
    Q=read();
    Tarjan();
    for (int i=2; i<=tot; i+=2)
        if (!road[i].cap && belong[road[i].from]!=belong[road[i].to])
            cut[road[i].from]=road[i].to,road[i].val=1;
    for (int i=2; i<=num; i++)
        if (cut[side[i].to]==side[i].from) side[i].val=1;
    BFS1(); BFS2(); 
    Solve();
    for (int i=1; i<=Q; i++)
        {
            int x=read(),y=read();
            if (cut[x]==y) if (ans[Ds[x]]) printf("%lld
",ans[Ds[x]]); else puts("Infinity");
            else if (cut[y]==x) if (ans[Ds[y]]) printf("%lld
",ans[Ds[y]]); else puts("Infinity");
            else if (cut[x]!=y && cut[y]!=x) printf("%lld
",ds[T]);
        }
    return 0;
}

【BZOJ-2725】故乡的梦 Dijsktra + Tarjan + Dinic + BFS + 堆

2725: [Violet 6]故乡的梦

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