[CodeCraft-20 (Div. 2)][Codeforces 1316F. Battalion Strength]

题目链接：1316F - Battalion Strength

题目大意：对于一个序列(left {  a_n ight })，定义其权值为，将其排序后，(sum_{i=1}^{n-1}a_icdot a_{i+1})的值。现在给出一个数组，要求每次修改其中一个位置的值，并求出修改后随机选取一个子序列的权值的期望

题解：先考虑对于一个有序数组(left {  a_n ight })对应的答案是多少

　　　对于任一一对满足(1le i < j le n)的((i,j))，能够让(a_i)与(a_j)相邻的子序列个数为(2^{n-(j-i+1)})，因此我们可以得出最开始的式子

$$ans=frac{sum_{i=1}^nsum_{j=i+1}^n a_icdot a_j cdot 2^{n-j+i-1}}{2^n}$$

　　　把分母消掉后得出

$$ans=sum_{i=1}^nsum_{j=i+1}^n a_icdot a_j cdot 2^{i-j-1}$$

　　　因此如果没有修改操作，我们就可以直接把原数组进行排序后，用分治的思想（线段树）求出答案

　　　对于有修改的情况，我们可以把修改的值加进来一起排序，这样就可以通过用线段树维护目前有哪些数存在来得出答案。对于每个结点，我们维护对应区间内有值的位置个数(c)，对应的答案(ans)，这个区间在左边或右边时需要乘上的系数(sl,sr)

　　　而对于这个系数，我们可以通过回顾之前的那个式子发现，每对((i,j))的贡献是(2^{i-j-1})。这时如果直接分别维护(a_icdot 2^i)和(a_icdot 2^{-i})的值，在合并时会出现不小的麻烦。因为假设左区间有(n_l)个位置有值 ，其第(i)个元素(l_i)与右区间的第(j)个元素(r_j)合并时。我们会发现在新区间中，(r_j)不再是区间的第(j)个元素了，而是第(n_l+j)个。但是我们又可以发现，在新的区间里，他们的贡献变成了(2^{i-(n_l+j)+1}=2^{i-n_l-j-1}=2^{-(n_l-i+1)}cdot 2^{-j})。这样的话我们对于一个区间内的数，只需令(sl=sum_{i=1}^{c}b_icdot 2^{-(c-i+1)},sr=sum_{i=1}^{c}b_icdot 2^{-i})即可，其中(b_i)为区间内第(i)个非空位置对应的值

　　　这样我们就可以排序后，先把每个(left {  a_n ight })对应的位置设为有值的状态，之后每次询问只需把对应修改的位置置零，新值对应的位置设为有值即可，注意修改后由于(a_i)的值发生了改变，其对应的位置也要进行变化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 600001
#define MOD 1000000007
int n,m,p[N],q[N],I[N],v;
struct pi
{
    int v,id;
    void read(int i){scanf("%d",&v),id=i;}
    bool operator <(const pi &t)const{return v<t.v;}
}a[N];
struct rua
{
    int c,ans,sl,sr;
}t[N<<2];
void change(int x,int i,int l,int r,int o)
{
    if(l==r)
      {
      t[i].c=o;
      t[i].ans=t[i].sl=t[i].sr=0;
      if(o)t[i].sl=t[i].sr=1ll*I[1]*a[x].v%MOD;
      return;
      }
    int mid=l+r>>1,ls=i*2,rs=ls+1;
    if(x<=mid)change(x,ls,l,mid,o);
    else change(x,rs,mid+1,r,o);
    t[i].c=t[ls].c+t[rs].c;
    t[i].sl=(1ll*t[ls].sl*I[t[rs].c]+t[rs].sl)%MOD;
    t[i].sr=(1ll*t[rs].sr*I[t[ls].c]+t[ls].sr)%MOD;
    t[i].ans=(t[ls].ans+t[rs].ans+1ll*t[ls].sl*t[rs].sr)%MOD;
}
int main()
{
    I[0]=1,I[1]=(MOD+1)/2;
    for(int i=2;i<N;i++)
      I[i]=1ll*I[1]*I[i-1]%MOD;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      a[i].read(i),p[i]=i;
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
      {
      scanf("%d",&q[i]);
      a[n+i].read(n+i);
      p[n+i]=n+i;
      }
    sort(a+1,a+n+m+1);
    for(int i=1;i<=n+m;i++)
      p[a[i].id]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      change(p[i],1,1,n+m,1);
    printf("%d
",t[1].ans);
    for(int i=1;i<=m;i++)
      {
      change(p[q[i]],1,1,n+m,0);
      change(p[n+i],1,1,n+m,1),p[q[i]]=p[n+i];
      printf("%d
",t[1].ans);
      }
}