JZOJ6702. 【2020.06.07省选模拟】仙人掌(cactus)

Description

$n<=1e5,m<=2e5$

Solution

• 一开始对于矩阵的行列式啥的以为跟矩阵树有关系，但是又不好套，就以为是一些我所不知道的神仙知识点，于是就没有直接往行列式的定义上去想了。
• 考虑行列式的定义来计算——选择一个排列，计算它的逆序对个数，加在一起（因为所有权值都是1）。
• 那么再考虑排列在图上的贡献，相当于是选了n条边，i连向p[i]，这样会形成若干个环。
• 但是由于这些p在原矩阵中是交叉的，看起来逆序对不好计算。但是我们可以发现，交换i和j以及指向它们的边相当于是交换两行两列，对行列式的取值没有影响。所以我们可以考虑对于一种排列，将每一个环移成编号连续的若干个段。
• 那么段内就是23456…n1，所以环的长度为偶数，贡献就为-1，否则为1,。
• 因为每一种交换方法都是唯一对应的，所以交换完之后计算的排列的贡献回到原矩阵后不会算重。
• 那么因为是仙人掌，在圆方树上DP即可。
• 一条边的两个端点也可以算作一个环，仙人掌上的一个环如果对应排列中的一个环，因为有顺逆两种方案，贡献要乘2.

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 200005
#define maxm 400005
#define ll long long 
#define mo 998244353
using namespace std;

int n,m,i,j,k,du[maxn];
int em,e[maxm],nx[maxm],ls[maxn];
int Em,E[maxm],Nx[maxm],Ls[maxm];

void read(int &x){
	x=0; char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
}

void insert(int x,int y){
	em++; e[em]=y; nx[em]=ls[x]; ls[x]=em;
	em++; e[em]=x; nx[em]=ls[y]; ls[y]=em;
}

void Insert(int x,int y){
	Em++; E[Em]=y; Nx[Em]=Ls[x]; Ls[x]=Em;
	Em++; E[Em]=x; Nx[Em]=Ls[y]; Ls[y]=Em;
}

int tot,dfn[maxn],low[maxn],d[maxn],bz[maxm],nn;
void dfs(int x){
	dfn[x]=low[x]=++tot,d[++d[0]]=x;
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i]) if (!bz[i]){
		bz[i]=bz[i^1]=1;
		if (!dfn[e[i]]){
			dfs(e[i]),low[x]=min(low[x],low[e[i]]);
			if (low[e[i]]>=dfn[x]){
				nn++;
				while (1){
					Insert(nn,d[d[0]]),d[0]--,du[nn]++;
					if (d[d[0]+1]==e[i]) break;
				}
				Insert(nn,x),du[nn]++;
			}
		} else low[x]=min(low[x],dfn[e[i]]);
	}
}

ll f[maxn][2],g[maxn][2];
void dp(int x,int p){
	if (x<=n) {
		f[x][0]=1;
		for(int i=Ls[x];i;i=Nx[i]) if (E[i]!=p){
			dp(E[i],x);
			f[x][1]=(f[x][1]*f[E[i]][0]+f[x][0]*f[E[i]][1])%mo;
			f[x][0]=f[x][0]*f[E[i]][0]%mo;
		}
	} else {
		for(int i=Ls[x];i;i=Nx[i]) if (E[i]!=p) dp(E[i],x);
		d[0]=0; for(int i=Ls[x];i;i=Nx[i]) if (E[i]!=p) d[++d[0]]=E[i];
		if (d[0]==1) {
			f[x][0]=f[d[1]][1],f[x][1]=-f[d[1]][0];
			return;
		}
		ll sum=1; for(int i=1;i<=d[0];i++) sum=sum*f[d[i]][0]%mo;
		g[0][0]=1,g[1][0]=f[d[1]][1],g[1][1]=-f[d[1]][0];
		for(int i=2;i<=d[0];i++) {
			g[i][0]=(f[d[i]][1]*g[i-1][0]-f[d[i]][0]*f[d[i-1]][0]%mo*g[i-2][0])%mo;
			g[i][1]=(f[d[i]][1]*g[i-1][1]-f[d[i]][0]*f[d[i-1]][0]%mo*g[i-2][1])%mo;
		}
		f[x][1]=(sum*2*((d[0]&1)?-1:1)+g[d[0]][1]-g[d[0]-1][0]*f[d[d[0]]][0])%mo;
		f[x][0]=g[d[0]][0];
	}
}

int main(){
//	freopen("cactus.in","r",stdin);
//	freopen("cactus.out","w",stdout);
	read(n),read(m),em=1,nn=n;
	for(i=1;i<=m;i++) read(j),read(k),insert(j,k);
	dfs(1);
	dp(1,0);
	printf("%lld",(f[1][1]+mo)%mo);
}