Description
Solution
- 刚开始看到矩阵求逆后发现连裸的矩阵求逆我都不会(其实我去年应该是学过的。。。),只会一发n6的暴力对n2个点进行高斯消元。
- 实际上,矩阵求逆有一种很好做的n3高斯消元。
- 对于矩阵,将它变为单元矩阵,同时根据的操作,同步地操作一个,因为矩阵的操作是互逆的,所以在经过相同的操作后就变成了
- 考虑对于这个Pascal矩阵做同样的操作。
- 注意到这个矩阵已经是一个三角形了,并且对于同一列,它们的分母都是一样的,所以在消元的时候可以忽略这个。那么只需要将这个矩阵消成一个对角线的1就好了。
- 然后因为这个矩阵,这个其实是二项式反演的基本式子,它的逆矩阵就是二项式反演的容斥系数.
- 然后再把乘上去就好了。
- 最后计算每一列的平方和。即。
- 结论。
小证明
- 简单的理解成即将2n个数分成两半,前一半选i个,后一半选n-i个,因为枚举了i,所以相当于是2n里面选n个。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxm 2000005
#define ll long long
#define mo 1000000007
using namespace std;
int n,m,i,j,k;
ll fct[maxm],ift[maxm],ans;
ll ksm(ll x,ll y){
ll s=1;
for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)
s=s*x%mo;
return s;
}
ll C(int n,int m){return fct[n]*ift[m]%mo*ift[n-m]%mo;}
int main(){
freopen("c.in","r",stdin);
freopen("c.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
fct[0]=fct[1]=1;for(i=2;i<maxm;i++) fct[i]=fct[i-1]*i%mo;
ift[maxm-1]=ksm(fct[maxm-1],mo-2);
for(i=maxm-2;i>=0;i--) ift[i]=ift[i+1]*(i+1)%mo;
for(i=1;i<=n;i++) ans+=ksm(i,2*m)*(C(2*i,i)-1)%mo;
printf("%lld",ans%mo);
}