【简单计数知识2】JZOJ6405. 【NOIP2019模拟11.04】c

Description

$n<=1e6,m<1e9+7$

Solution

• 刚开始看到矩阵求逆后发现连裸的矩阵求逆我都不会（其实我去年应该是学过的。。。），只会一发n⁶的暴力对n²个点进行高斯消元。
• 实际上，矩阵求逆有一种很好做的n³高斯消元。
• 对于矩阵$A$，将它变为单元矩阵$I$，同时根据$A$的操作，同步地操作一个$I$，因为矩阵的操作是互逆的，所以$I$在经过相同的操作后就变成了$A^-$
• 考虑对于这个Pascal矩阵做同样的操作。
• 注意到这个矩阵已经是一个三角形了，并且对于同一列，它们的分母都是一样的$j^m$，所以在消元的时候可以忽略这个。那么只需要将这个矩阵消成一个对角线的1就好了。
• 然后因为这个矩阵$P(i,j)=[i>=j]C_i^j$，这个其实是二项式反演的基本式子，它的逆矩阵就是二项式反演的容斥系数$P(i,j)=[i>=j](-1)^{i+j}C_i^j$.
• 然后再把$j^m$乘上去就好了。
• 最后计算每一列的平方和。即$sum_{i=0}^n (C_n^i)^2$。
• 结论$sum_{i=0}^n (C_n^i)^2=C_{2n}^n$。

小证明

• 简单的理解成$C_n^i*C_n^{n-i}$即将2n个数分成两半，前一半选i个，后一半选n-i个，因为枚举了i，所以相当于是2n里面选n个。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxm 2000005
#define ll long long 
#define mo 1000000007
using namespace std;

int n,m,i,j,k;
ll fct[maxm],ift[maxm],ans;

ll ksm(ll x,ll y){
	ll s=1;
	for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)
		s=s*x%mo;
	return s;
}

ll C(int n,int m){return fct[n]*ift[m]%mo*ift[n-m]%mo;}

int main(){
	freopen("c.in","r",stdin);
	freopen("c.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	fct[0]=fct[1]=1;for(i=2;i<maxm;i++) fct[i]=fct[i-1]*i%mo;
	ift[maxm-1]=ksm(fct[maxm-1],mo-2);
	for(i=maxm-2;i>=0;i--) ift[i]=ift[i+1]*(i+1)%mo;
	for(i=1;i<=n;i++) ans+=ksm(i,2*m)*(C(2*i,i)-1)%mo;
	printf("%lld",ans%mo);
}