LCS引论
在这篇博文中，博主要给大家讲一个算法----最长公共子序列（LCS）算法。我最初接触这个算法是在高中学信息学竞赛的时候。那时候花了好长时间理解这个算法。老师经常说，这种算法是母算法，即从这种算法中能衍生出许许多多的子算法。是的，博主在大二的算法导论考试中，就被LCS衍生的子算法“坑”了。当时一道动态规划题目，大概是要写一列书中放置书架的问题。博主联想到了LCS，但是最后还是只是用暴力求解法解出了那道题目，甚是遗憾。在这里，我也对此算法做一个详解。
优化子结构
首先，我们来看优化子结构：
设X=(x 1 , ..., x m ) 、Y=(y 1 , ..., y n ) 是两个序列，Z=(z 1 , ..., z k ) 是X 与Y 的LCS ，我们有：
⑴ 如果xm =yn, 则zk =xm = yn , Zk-1 是Xm-1 和Yn-1 的LCS ， 即 ：
LCS XY = LCS X m-1 Y n-1 + <xm =yn >.
⑵ 如果xm ≠ yn ， 且zk≠ xm ， 则Z 是X m-1 和Y 的
LCS ， 即 LCS XY = LCS X m-1 Y
⑶ 如果xm ≠ yn ，且zk≠ yn ，则Z 是X 与Y n-1 的LCS ，即 ：
LCS XY = LCS XY n-1
构造C[m,n]数组表示xm 、yn 的LCS长度，因此，求得X和Y的优化解结构的递归方程为：
C[i, j] = 0 if i=0 或 j=0
C[i, j] = C[i-1, j-1] + 1 if i, j>0 且 x i = y j
C[i, j] = Max(C[i, j-1], C[i-1, j]) if i, j>0 且 x i ≠ y j
在存储LCS的时候，我们根据已经构造好的B[m,n]来寻找全部的LCS。
如果B[m,n]=0，说明X和Y当前比对的字符相同，因此我们把X和Y都向前一个字符，再进行比对。
如果B[m,n]=1，说明xm ≠ yn ， 且zk≠ xm ，此时我们只用把X向前移一位，再进行比对。
如果B[m,n]=3，说明xm ≠ yn ，且zk≠ yn，此时我们需要把Y向前移动一位，再进行比对。
如果B[m,n]=2，说明c[i - 1][j] = c[i][j - 1]，我们需要将两个字符串依次向前移动一位，进行比对
关键的数据结构及简单说明
C[m,n]: C[i,j] 是X i 与Y j 的LCS 的长度；
B[m,n]: B[i,j] 是指针 ，指向计算C[i,j] 时所选择的子问题的优化解所对应的C 表的表项。通俗的说，B[m,n]记录的是轨迹；
public static String[] Log：存储全部LCS字符串；
public static char[] lcs：字符数组，存储
TreeSet<String> tree = new TreeSet<String>()：将LCS数组存入Tree集合中，供打印使用。
示例程序
package test;
import java.util.Scanner;
import java.util.TreeSet;
public class LCS {
public static StringBuffer X;
public static StringBuffer Y;
public static int m;
public static int n;
public static int len;
public static int[][] b;
public static int[][] c;
public static String[] Log;
public static char[] lcs;
public final static int MAX = 100;
public static int boardlen;
public static void main(String[] args) {
Log = new String[MAX];
LCS lcs = new LCS();
Scanner in = new Scanner(System.in);
System.out.println("string X:");
X = new StringBuffer(in.next());
System.out.println("string Y:");
Y = new StringBuffer(in.next());
lcs_length();
System.out.println("LCS:");
store_lcs(m, n, len);
PrintLCS();
X.setLength(0);
Y.setLength(0);
in.close();
}
public static void lcs_length() {
m = X.length();
n = Y.length();
lcs = new char[m + 1];
boardlen = 0;
c = new int[m + 1][n + 1];
b = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= m; i++)
c[i][0] = 0;
for (int j = 0; j <= n; j++)
c[0][j] = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++){
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (X.charAt(i - 1) == Y.charAt(j - 1)) {
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
b[i][j] = 0;
} else if (c[i - 1][j] > c[i][j - 1]) {
c[i][j] = c[i - 1][j];
b[i][j] = 1;
} else if (c[i - 1][j] == c[i][j - 1]) {
c[i][j] = c[i - 1][j];
b[i][j] = 2;
} else {
c[i][j] = c[i][j - 1];
b[i][j] = 3;
}
}
}
len = c[m][n];
}
public static void store_lcs(int m, int n, int Len) {
if (m == 0 || n == 0) {
Log[boardlen] = new String(lcs);
boardlen++;
} else {
if (b[m][n] == 0) {
lcs[Len] = X.charAt(m - 1);
Len--;
store_lcs(m - 1, n - 1, Len);
} else if (b[m][n] == 3) {
store_lcs(m, n - 1, Len);
} else if (b[m][n] == 1) {
store_lcs(m - 1, n, Len);
} else {
store_lcs(m, n - 1, Len);
store_lcs(m - 1, n, Len);
}
}
}
public static void PrintLCS() {
TreeSet<String> tree = new TreeSet<String>();
for (int i = 0; i <boardlen; i++) {
tree.add(Log[i]);
}
String[] string = new String[tree.size()];
for (int i = 0; i < string.length; i++) {
string[i] = tree.pollFirst();
System.out.println(string[i]);
}
}
public void printit() {
for (int i = 0; i < Log.length; i++) {
if (Log[i] != null) {
System.out.println(Log[i]);
}
}
}
}
后序
程序经本人测试，能够运行出正确结果。以上仅供大家学习交流，转载请注明出处。