1025: [SCOI2009]游戏
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Description
最开始windy把数字按顺序1,2,3,……,N写一排在纸上。 然后再在这一排下面写上它们对应的数字。 然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。 如此反复,直到序列再次变为1,2,3,……,N。
如:
1 2 3 4 5 6
对应的关系为
1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6
windy的操作如下
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 4 6
3 1 2 4 5 6
1 2 3 5 4 6
2 3 1 4 5 6
3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6
这时,我们就有若干排1到N的排列,上例中有7排。
现在windy想知道,对于所有可能的对应关系,有多少种可能的排数。
Input
Output
Sample Input
3
【输入样例二】
10
Sample Output
【输出样例一】
3
【输出样例二】
16
【数据规模和约定】
30%的数据,满足 1 <= N <= 10 。
100%的数据,满足 1 <= N <= 1000 。
看完题目我还以为是游戏论呢……竟然是我最头疼的数学题= =
好吧好吧,碰上什么题也得做……首先观察样例:N=6,
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 4 6
3 1 2 4 5 6
1 2 3 5 4 6
2 3 1 4 5 6
3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6
发现什么了?我们发现每一列都是由循环节组成的,比如第一列1-2-3,第二列2-3-1,第三列3-1-2,第四列4-5……那么我们可以知道,如果原数列当中的一个数为i,i所在列的循环节长度为L,那么在经过k*L次变换之后,原来i所在的那一列的数字又将变成i。若要使数列所有位都变回原装态,就要使排列的行数Lines是所有循环节长度的整数倍。
如果设循环节长度分别为L1,L2,L2,......,Ln,那么Lines=LCM(L1,L2,L3,......,Ln)。
至此,问题被转化成了:给你一个N,问你任意一坨循环节长度的LCM是N,有多少种情况。
然后翻了翻班主任给的数论书,发现任意整数可以表示为素数幂次的积(这个分解一下质因数就明白了哈……),然后我们就可以“记忆化搜索”(说他是DP真的有点不舒服)。
交了两遍,终于AC了。注意数据范围……
那个素数表,本来想从资料库里面复制一个出来……但是估计贴到这里之后就没法看了……于是我从SD08 Point上面Copy了一个打表器用了……
Program SCOI_2009_Game; var prime:Array[1..168]of longint; f:Array[1..168,0..1000]of int64; n,cnt:longint; function IsPrime(x:longint):boolean; var i:longint; begin for i:=1 to cnt do if x mod prime[i]=0 then exit(false); exit(true); end; procedure Make_Prime_List; var i:longint; begin for i:=2 to n do if IsPrime(i) then begin inc(cnt); Prime[cnt]:=i; end; end; function solve(step,n:longint):int64; var pow:longint; begin if step>cnt then exit(1); if f[step,n]>=0 then exit(f[step,n]); solve:=0; pow:=prime[step]; while pow<=n do begin inc(solve,solve(step+1,n-pow)); pow:=pow*prime[step]; end; inc(solve,solve(step+1,n)); f[step,n]:=solve; end; begin readln(n); fillchar(f,sizeof(f),$ff); Make_Prime_List; writeln(solve(1,n)); readln;readln; end.