Leetcode 96. Unique Binary Search Trees

96. Unique Binary Search Trees

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Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
           /     /      /       
     3     2     1      1   3      2
    /     /                        
   2     1         2                 3

思路：本质是DP。假设n个结点产生的二叉查找树的个数为f[n]。

f[0]=1

n个结点的时候

根结点为1，这时有f[0]*f[n-1]种情况

根结点为2，这时有f[1]*f[n-2]种情况

根结点为3，这时有f[2]*f[n-3]种情况

...

根结点为n-1，这时有f[n-2]*f[1]种情况

根结点为n，这时有f[n-1]*f[0]种情况

所以总共有f[n]=f[0]*f[n-1]+f[1]*f[n-2]+f[3]*f[n-3]+...+f[n-3]*f[3]+f[n-2]*f[1]+f[n-1]*f[0]。(n>=2)

其实上面的f[n]所形成的序列就是Catalan number，公式是C(2n,n)/(n+1)。这就是方法二。不过用数学公式计算的时候，要注意整数相除和溢出问题。

代码：

方法一：直接计算。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> nums(n+1,0);
        nums[0]=1;
        int res=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                nums[i]+=nums[j]*nums[i-1-j];
            }
        }
        return nums[n];
    }
};

方法二：用Catalan number公式计算。注意整数相除和溢出问题。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long long ans=1,i;//注意溢出问题
        for(i=1;i<=n;i++){
            ans=ans*(n+i)/i;
        }
        return ans/i;
    }
};