[题解]陌上花开

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#Part. 1 题目描述

有 (n) 个元素，第 (i) 个元素有 (a_i,b_i,c_i) 三个属性，设 (f(i)) 表示满足 (a_j leq a_i) 且 (b_j leq b_i) 且 (c_j leq c_i) 且 (j e i) 的 (j) 的数量。对于 (d in [0, n))，求 (f(i) = d) 的数量。

#Part. 2 思路

谁能想到，笔者做这道题的瓶颈是树状数组呢...QwQ

本题是三维偏序的板子题。我们在这里采用 CDQ 分治解决这道题。

( t CDQ) 分治处理序列点对问题的经典三步骤：

• 找到中点 (mid)；
• 递归处理在左区间 ([l,mid]) 和右区间 ([mid+1,r]) 中的答案；
• 统计跨过中点 (mid) 的点对；

首先对于这样的问题，我们首先考虑减少干扰我们的条件，所以将所有元素进行排序，令 (a) 为第一关键字，(b) 为第二关键字，(c) 为第三关键字，这样一来在所有的区间内，右边的 (a) 一定比左边的 (a) 要大。同时注意到可能会有相同的元素，这里需要去重。

struct flo {
    int a, b, c, id, tot;
    
    inline bool operator < (const flo &t) const {
        if (a == t.a) {
            if (b == t.b) return c < t.c;
            else return b < t.b;
        } else return a < t.a;
    }

    inline bool operator != (const flo &t) const {
        return (a != t.a || b != t.b || c != t.c) ? true : false;
    }
};
flo p[N], v[N], q[N];

/*在 main() 中*/
sort(p + 1, p + n + 1); //排序
v[++ cnt] = p[1]; v[cnt].id = v[cnt].tot = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++ i)
  /*去重，因为已经排好了序，所以相同的元素
  必定相邻，只需判断当前元素与上一个记录的
  元素是否相同，如果是，那么增加个数即可，
  否则记录当前元素*/
  if (p[i] != v[cnt]) { 
      v[++ cnt] = p[i];
      v[cnt].id = cnt;
      v[cnt].tot ++;
  } else v[cnt].tot ++;

下面的重点便是 ( t CDQ) 的过程了，因为递归的过程是完全相同的子问题，那么假设对于区间 ([l,r]) 我们现在已经处理完 ([l,mid]) 和 ([mid+1,r])，现在来看如何统计跨过中点的点对信息。

这种 “处理左边...处理右边...合并两边” 的方式是否觉得有些眼熟？好像归并排序便是这样的过程，那么如果我们在处理完一个区间的同时，可以将这个区间按照 (b) 从大到小排序，我们发现，如果这样做，那么在处理整个区间 ([l,r]) 时，([l,mid]) 中的 (a) 一定比 ([mid+1,r]) 中的 (a) 小，而在两个小区间中，是按照 (b) 升序，那么对于一个右区间中的元素 (t)，可能对它的答案造成贡献的只有在左区间中 (b) 小于等于 (t.b) 的元素，我们设左区间中第一个 (b) 值大于 (t) 的 (b) 值的元素为 (t) 的决策点。很显然，这样的决策点是具有单调性的，即如果对于一个在右区间中的位置比 (t_1) 靠右的元素 (t_2)，如果 (t_1) 的决策点是 (s_1)，那么 (t_2) 的决策点一定不会比 (s_2) 靠左，所以我们可以直接维护一左一右两个指针。

那么，对于一个右区间中的元素 (t)，左区间中对他的答案的贡献一定是在他的决策点左边的元素中，(c) 值比 (t) 的 (c) 小的元素个数，那么这个数量怎么维护？很简单，我们可以维护一个权值树状数组（权值线段树），每向右扩展一个左区间的元素，就将这个元素的包含的个数加入到树状数组中对应 (c) 的位置，每当找到一个右区间元素的决策点，那么就查询当前的树状数组中有多少个元素小于等于 (c)。

#Part. 3 代码实现

const int N = 1000010;
const int INF = 0x3fffffff;

struct flo {
    int a, b, c, id, tot;
    
    inline bool operator < (const flo &t) const {
        if (a == t.a) {
            if (b == t.b) return c < t.c;
            else return b < t.b;
        } else return a < t.a;
    }

    inline bool operator != (const flo &t) const {
        return (a != t.a || b != t.b || c != t.c) ? true : false;
    }
};
flo p[N], v[N], q[N];

int n, k, cnt, ftot[N], ans[N], c[N << 8], res[N];

/*树状数组部分*/

inline int lowbit(int x) {return (x & (-x));}

void insert(int i, int x) {
    while (i <= N){
        c[i] += x;
        i += lowbit(i);
    }
}

int query(int x) {
    int res = 0;
    while (x > 0) {
        res += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

void cdq(flo *arr, int l, int r) {
    if (l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    cdq(arr, l, mid); cdq(arr, mid + 1, r);
    for (int i = l; i <= r; i ++) q[i] = arr[i];
    int L = l, R = mid + 1, pos = l;
    while (R <= r && L <= mid) { //归并排序同时维护信息
        if (q[L].b <= q[R].b) {
            insert(q[L].c, q[L].tot);
            arr[pos ++] = q[L ++];
        } else {
            ans[q[R].id] += query(q[R].c);
            arr[pos ++] = q[R ++];
        }
    }
    while (R <= r) ans[q[R].id] += query(q[R].c), ++ R;
    while (L <= mid) {insert(q[L].c, q[L].tot);arr[pos ++] = q[L ++]; }
    //可能存在未处理完的数据
    for (int i = l; i <= mid; i ++) insert(q[i].c, -q[i].tot);
    //清空树状数组
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
      scanf("%d%d%d", &p[i].a, &p[i].b, &p[i].c);
    sort(p + 1, p + n + 1);
    v[++ cnt] = p[1]; v[cnt].id = v[cnt].tot = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++ i)
      if (p[i] != v[cnt]) {
          v[++ cnt] = p[i];
          v[cnt].id = cnt;
          v[cnt].tot ++;
      } else v[cnt].tot ++;
    cdq(v, 1, cnt);
    for (int i = 1; i <= cnt; ++ i)
      res[ans[v[i].id] + v[i].tot - 1] += v[i].tot;
    for (int i = 0; i < n; ++ i)
      printf("%d
", res[i]);
    return 0;
}

想做法非常快...但是树状数组因为没怎么用过不大会写，卡了我好久...

[Largecolor{pink}{ extbf{❀陌上花开，可缓缓归矣~}} ]