FZYZ-2071 A Simple Math Problem IX

P2071 -- A Simple Math Problem IX

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状态：Accepted      标签：    数学问题-博弈论   无   无

Description

给定a,b,n，保证a≥2，b≥1，a^b≤n。两个人在玩游戏，每个人每次可以把a加1，或者把b加1，但是不能违反a^b<=n，无法再进行操作的人就输掉了这一场游戏。

假设两个人都足够聪明，按照最优策略进行游戏，问先手是否有必胜策略。

Input Format

第一行两个正整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行两个正整数 a 和 b。保证 a≥2，b≥1，a^b≤n。

Output Format

m 行，如果对于这一对数字 a 和 b，如果先手有必胜策略，输出 “Yes”。否则输出 “No” （不含引号）

Sample Input

5 3
2 1
2 2
3 1

Sample Output

Yes
No
No

Hint

对于10%的数据，n=2

对于70%的数据，n<=1000

对于100%的数据，n<=10^9，m<=10^5

题解

      不难想到，状态(a,b)可以转移到状态(a + 1, b)或者(a, b + 1)。设F[a][b]为该局面下先手胜败，1表示必胜，0表示必败，那么F[a][b] = (F[a + 1][b] & F[a][b +１]) ^ 1。但是数据范围太大，该怎么办呢？

      首先，a和b必须满足a^b <= n，即log (a, n) >= b，又因为a >= 2，所以log (2, n) >= log(a, n)，所以b <= log (2, n) <= 30。

      其次，a^b <= n还可以推出当b >= 2时，a <= sqrt(n)，这也是一个不大的数字。当b=1时，即便n很大，但随着a的递增，可供选择的b会逐渐减少，最后转移会变成一条链，所以根据奇偶性判断就好。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define MAXN 50010
#define MAXM 50
using namespace std;

int N, M;
int j;
long long X;
int A, B;
int Lim;
bool F[MAXN][MAXM];

char ch; int aa, bb;
int Scan() {
    while(ch=getchar(),(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-');
    ch=='-' ? (bb=1,aa=0) : (aa=ch-48,bb=0);
    while(ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9')aa=aa*10+ch-48;
    if(bb)aa=-aa;
    return aa;
}

int main() {
    memset(F, 1, sizeof(F)); //F必须开bool 
    N = Scan();
    Lim = int (sqrt(N));
    if ((Lim + N) & 1) F[Lim + 1][1] = 0;
    for (int i = Lim; i >= 2; --i) {
        for (j = 0, X = 1; X <= N; X *= i, ++j); //X可能会爆int 
        for (--j; j; --j) F[i][j] = (F[i + 1][j] & F[i][j + 1]) ^ 1;
    }
    for (M = Scan(); M; --M) {
        A = Scan(); B = Scan();
        if (B == 1 && A > Lim) {
            if ((N + A) & 1) printf("Yes
");
            else printf("No
");
        }
        else {
            if (F[A][B]) printf("Yes
");
            else printf("No
");
        }
    }
}