BZOJ 2734 洛谷 3226 [HNOI2012]集合选数【状压DP】【思维题】

【题解】

　　思维题，看了别人的博客才会写。

　　写出这样的矩阵：

　　1,3,9,...

　　2,6,18,...

　　4,12.36,...

　　8,24,72,...

　　我们要做的就是从矩阵中选出一些数字，但是不能选相邻的。

　　我们可以发现，在100000的范围内，这个矩阵最多只有18行，11列。

　　那么这个矩阵的取数字的方案数直接状压DP即可。f[i][j]表示第i行，状态为j的方案数，转移就是f[i][j]=sigma(f[i-1][k]) ，条件是(j&k==0且k&(k>>1)==0)

　　但是这个矩阵不能覆盖值域之内的所有数字，怎么办呢？我们可以找到最小的没有被覆盖的数，用它放在(1,1)的位置构造一个类似的矩阵。

　　可以证明每个数字恰好在矩阵中出现一次。所以最终答案就是各个矩阵的答案相乘。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define rg register
#define N 50
#define MOD(x) ((x)>=mod?(x)-mod:(x))
using namespace std;
const int mod=1000000001;
int n,ans=1,a[N][N],mx[N],f[N][2048],exp[N];
bool vis[100010];
inline int read(){
    int k=0,f=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')c=='-'&&(f=-1),c=getchar();
    while('0'<=c&&c<='9')k=k*10+c-'0',c=getchar();
    return k*f;
}

inline int calc(int x){
    memset(mx,0,sizeof(mx)); memset(f,0,sizeof(f));
    a[1][1]=x;
    for(rg int i=2;i<=18;i++)a[i][1]=(a[i-1][1]*2<=n)?a[i-1][1]<<1:n+1;
    for(rg int i=1;i<=18;i++)
        for(rg int j=2;j<=11;j++) a[i][j]=(a[i][j-1]*3<=n)?a[i][j-1]*3:n+1;
    for(rg int i=1;i<=18;i++)
        for(rg int j=1;j<=11;j++)if(a[i][j]<=n){
            mx[i]+=exp[j-1];
            vis[a[i][j]]=1;
        }
    f[0][0]=1;
    for(rg int i=1;i<=18;i++)
        for(rg int j=0;j<=mx[i];j++)if(!(j&(j>>1)))
            for(rg int k=0;k<=mx[i-1];k++)if(!(j&k)&&!(k&(k>>1)))
                f[i][j]=MOD(f[i][j]+f[i-1][k]);
    return f[18][0];
}
int main(){
    exp[0]=1; for(rg int i=1;i<20;i++) exp[i]=exp[i-1]<<1;
    n=read();
    for(rg int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i]) ans=(1ll*ans*calc(i))%mod;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}