地精部落 题解

地精部落

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

输入格式

仅含一行，两个正整数 N, P。

输出格式

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

样例

样例输入

4 7

样例输出

3

数据范围与提示

对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤10910^910​9​​

一看似乎不太好转移，每个数要比它两边的数大或小，如果直接针对每个数进行状态转移，不太好弄

然而我们研究一下这种序列，要按照 小 大 小...这样，那么如果我们在一整个序列前加一个更大的数，变成 大 小 大 小 有成一个合法序列了

一个大小大小的序列可以唯一对应一个小大小大的合法序列，比如213变为231，相当于每个数a变为N-a+1，所以小大小大的个数与大小大小的个数相同

用f[i][j]表示长度为i的序列，开头为j的方案数 并且是大小大小

怎么转移？

再看看另一个特性

对于序列中的x和x+1，只要他们不相邻，交换后得到一个新序列仍合法。画一张图比较好得出

那么我们可以利用这一点直接从f[i][j-1]转移到f[i][j]

长为i，第一个数为j-1,它的第二个数一定小于j-1，也就是j一定不与j-1相邻，那么j与j-1交换就可以得到长为i第一位j，第二位不是j-1（比j-1小）的合法序列

要得到第二位是j-1的序列，可以将长为i-1的状态转移过来

找长i-1的首位是j-1 并且是 小 大 小 大 的序列，这样直接在前面添上j就合法了

那么这样的序列个数其实就是长为j-1首位为(i-1)-(j-1)的序列的个数（相当与用i-1去减没一个数，变成小大小大）

合起来f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][(i-1)-(j-1)+1]

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int N;
int p;
int f[4300][4300];
int main(){
    memset(f,0,sizeof(f));
    scanf("%d%d",&N,&p);
    f[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=N;++i){
//        f[i][1]=1;
        for(int j=1;j<=i;++j){
            f[i][j]=1ll*(f[i][j-1]+f[i-1][i-1-(j-1)+1])%p;
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=N;++i)
        ans=1ll*(ans+f[N][i])%p;
    ans=2ll*ans%p;
    printf("%d
",ans);
}