唯一分解定理

唯一分解定理：任何大于1的自然数都可以唯一分解成有限个质数的乘积

 

这里的 n > 1；

定理就是这样，我们来看一个题目： https://vjudge.net/problem/UVA-10892

首先我们可以将a、b进行分解 a = (p1^a1)*(p2^a2)......(pn^an)，b = (p1^b1)*(p2^b2)......(pn^an)

它们的最小公倍数(LCM)我们也进行分解：r = (p1^r1)*(p2^r2) ...... (pn^rn)

这里就会有 ri = max{ai, bi} , 这样一来我们就可以构造所有的a和b的组合了，现在假设a的 pi项 的 ai 为 ri，则我们b的 pi项 对应的 bi 就可以取 [0, ri-1]共 ri 个值，同理对b的 pi项 的 bi 也可以取 ri，a就也有 ri 个可取的值，再加上a和b的 pi 项同时为 ri 这种情况，就一共有 2*ri+1 中情况。这样一来我们统计重复的情况即 即统计了 (a,b) 又统计了 (b,a)所以我们得将结果除以2，但是 a，b全是LCM的情况我们只统计了一次，所以我们还得加上1

代码如下：

#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <map>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 1000;
LL u[maxn], cnt;

bool fenjie(LL n){
    LL f = (LL) sqrt(n+0.5);
    bool isprimer = true;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        if(i > f && isprimer) return true;
        if(n%i == 0) {
            u[cnt] = 0;
            while(n%i == 0) {
                isprimer = false;
                u[cnt]++;
                n /= i;
            }
            cnt++;
        }
    }
    return false;
}

int main(){
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
//    freopen("in.txt", "r", stdin);
    LL n, ans;
    while(cin >> n && n) {
        cnt = 0;
        if(fenjie(n)) {
            cout << n << " " << 2 << endl;
            continue;
        }
        ans = 1;
        for(int i = 0; i < cnt; ++i){
            ans *= (2*u[i] + 1);
        }
        ans = ans/2 + 1;
        cout << n << " " << ans << endl;
    }
    return 0;
}