NAIPC2016部分题解

A题：空

B题：空

C题：状压dp，我们设 dp[i][S] 表示用 i 个信封装集合 S 封信，转移就是 dp[i][S] = min(dp[i][S], dp[i-1][S¹] + val[S^S¹])，其中 S¹是S的子集。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL dp[20][1<<15], val[1<<15];
int p[20][3], n, k;

void input() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        for(int j = 0; j < 3; ++j)
            scanf("%d", &p[i][j]);

}

void init() {
    for(int i = 0; i < (1<<n); ++i) {
        LL a = -1, b = -1, c = 0, d = 0;
        for(int j = 0; j < n; ++j)
            if((1<<j)&i) {
                a = max(a, (LL)p[j][0]);
                b = max(b, (LL)p[j][1]);
                c += p[j][2];
                d += (LL)p[j][0]*p[j][2]*p[j][1];
            }
        val[i] = a*b*c - d;
    }
}

void solve() {
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    int a = (1<<n);
    dp[0][0] = 0;
    for(int i = 1; i <= k; ++i)
        for(int j = 1; j < a; ++j) {
            dp[i][j] = val[j];
            for(int tk = j; tk; tk = (tk-1)&j)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][tk]+val[j^tk]);
        }

    printf("%lld
", dp[k][a-1]);
}

int main() {
    input();
    init();
    solve();
    return 0;
}

D题：0/1分数规划 + 树形依赖背包dp，这题就是这两个算法和起来的一个裸题。代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
const int maxn=2500+100;
const double eps=1e-7;
const double inf=1e20;
int n,k,sz;
double d[maxn];
int s[maxn],p[maxn],fa[maxn];
vector<int>G[maxn];
double dp[maxn][maxn];
int dfs_clock;
int order[maxn],pos[maxn],en[maxn];
void dfs(int u){
    order[u]=++dfs_clock;
    pos[dfs_clock]=u;
    for(int i=0;i<G[u].size();i++){
        int v=G[u][i];
        dfs(v);
    }
    en[u]=dfs_clock;
}

bool check(double mid){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        d[i]=p[i]-mid*s[i];
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        for(int j=0;j<=k;j++){
            dp[i][j]=-inf;
        }
    }
    dp[1][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=k;j++){
            if(dp[i][j]<=-inf)continue;
            if(j<k){
                dp[i+1][j+1]=max(dp[i+1][j+1],dp[i][j]+d[pos[i]]);
            }
            dp[en[pos[i]]+1][j]=max(dp[en[pos[i]]+1][j],dp[i][j]);
        }
    }
    if(dp[n+1][k]>=0)return true;
    return false;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&k,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&s[i],&p[i],&fa[i]);
        G[fa[i]].push_back(i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!order[i])
            dfs(i);

    double l=0,r=10200;
    while(r-l>eps){
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)){
            l=mid;
        }else{
            r=mid;
        }
    }
    printf("%.3f
",l);
return 0;
}

E题：FFT，我们推一下，首先看样例一：BABA距离为1，即BA的，有2个；距离为2，0个，距离为3，即BABA，有1个。怎么得到的呢？将第一个A与第一个B匹配，将第二个A与前两个B匹配，这个过程就像多项式乘法，自然想到FFT。再具体一点，我们把B所在的位置记为集合（0，2），把A所在的位置记为集合（1，3），那么我们发现，0和1匹配是一组长度为1的解，0和3匹配是一组长为3的解，而2不能和1匹配，因为我们要求B在A前面。2可以和3匹配是一组长度为1的解。这就是一个多项式乘法的过程，(x⁰+x²)*(x¹+x³)，但是我们最后的结果: x⁰+3x³+x⁵ ，但是这里有个问题，有一个x³是不合法的，而而我们没法分辨出来，我们可以这样写(x⁰+x^-2)*(x¹+x³)，这样一来就OK了，我们看看结果是: x^-1+2x³+x⁵我们立马就可以分辨出来 x^-1 是不合法的，但是又有一个问题：FFT无法处理指数为负的多项式咋办？这个好办，我们假设这是一个n-1次的多项式，那么我们给B的多项式的每一项都乘以上xⁿ就行了，这样的话，样例就变为(x⁴+x²)*(x¹+x³)，这样的话，答案就变为x³+2x⁵+x⁷，这样指数小于等于4的都是不合法的。这样，所有问题都解决了。代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pi = acos(-1.0);

struct comp{
    double r,i;
    comp(double _r=0, double _i=0):r(_r),i(_i) {}
    comp operator + (const comp& x) { return comp(r+x.r, i+x.i); }
    comp operator - (const comp& x) { return comp(r-x.r, i-x.i); }
    comp operator * (const comp& x) { return comp(r*x.r-i*x.i, r*x.i+i*x.r); }
};

void FFT(comp a[], int n, int t) {
    for(int i=1, j=0; i < n-1; i++) {
        for(int s=n; j^=s>>=1, ~j&s;);
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
    }
    for(int d=0; (1<<d)<n; d++) {
        int m=1<<d, m2=m<<1;
        double o=pi/m*t;
        comp _w(cos(o),sin(o));
        for(int i=0; i<n; i+=m2) {
            comp w(1,0);
            for(int j=0; j<m; j++) {
                comp& A=a[i+j+m], &B=a[i+j], t=w*A;
                A=B-t; B=B+t; w=w*_w;
            }
        }
    }
    if(t == -1) for(int i=0; i<n; i++) a[i].r=floor(a[i].r/n+0.5);
}

const int maxn = 3e6 + 100;
comp A[maxn], B[maxn];
char str[maxn];
int len;

int main() {
    scanf("%s", str);
    len = strlen(str);
    for(int i = 0; i < len; ++i) {
        if(str[i] == 'B') A[i].r=0, B[len-i].r=1;
        else A[i].r=1, B[len-i].r=0;
    }
    int tmp = 1;
    while(tmp < 2*len) tmp*=2;
    swap(len, tmp);
    FFT(A, len, 1);
    FFT(B, len, 1);
    for(int i = 0; i < len; ++i)
        A[i] = A[i]*B[i];
    FFT(A, len, -1);
    for(int i = tmp+1; i < 2*tmp; ++i) {
        printf("%.0f
", A[i].r);
    }
    return 0;
}

F题：dp，设 f[i][j] 表示前 i 列用了长度 j 的木条，则转移就是 f[i][j] = f[i][j] + f[i-1][j-k]，最后把 f[w][0] +...+ f[w][n] 加起来再减去不符合情况的就行了。不符合情况的只有 min(h,n/w)+1 种。代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int f[105][10005];
const int mod = 1e9+7;

int main() {
    int n, w, h;
    scanf("%d%d%d",&n,&w,&h);
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= w; ++i)
        for(int j = 0; j <= n; ++j)
            for(int k = 0; k <= min(h,j); ++k)
                f[i][j] = (f[i][j]+f[i-1][j-k])%mod;

    int ans = 0;
    for(int i = 0; i <= n; ++i)
        ans = (ans+f[w][i])%mod;
    ans = (ans-min(h,n/w)-1+mod)%mod;
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}

G题：空

H题：空

I 题：lca ，直接上板子就好了。代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn=2e5+100;
int head[maxn],Next[2*maxn],to[2*maxn];
int n,sz,dep;
void add_edge(int a,int b){
    ++sz;
    to[sz]=b;Next[sz]=head[a];head[a]=sz;
}
int f[maxn][40],dist[maxn],d[maxn];
queue<int>q;
void bfs(){
    q.push(1);d[1]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=Next[i]){
            int v=to[i];
            if(d[v])continue;
            d[v]=d[u]+1;
            dist[v]=dist[u]+1;
            f[v][0]=u;
            for(int j=1;j<=dep;j++){
                f[v][j]=f[f[v][j-1]][j-1];
            }
            q.push(v);
        }
    }
}

int lca(int x,int y){
    if(d[x]>d[y])swap(x,y);
    for(int i=dep;i>=0;i--){
        if(d[f[y][i]]>=d[x])y=f[y][i];
    }
    if(x==y)return x;
    for(int i=dep;i>=0;i--){
        if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
    }
    return f[x][0];
}

int main(){
    sz=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d",&n);
    int a,b;
    dep=(int)(log(n)/log(2))+1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add_edge(a,b);
        add_edge(b,a);
    }
    bfs();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dist[i]++;
    long long ans=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        ans+=dist[i];
    for(int i=2;i<=n/2;i++){
        for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
            ans+=dist[i]+dist[j]-2*dist[lca(i,j)]+1;
        }
    }
    printf("%lld
",ans);
return 0;
}

J题：空

K题：空