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前言:由于计算机运算是有模运算,数据范围的表示有一定限制,如整型int(C++中int 与long相同)表达范围是(-2^31~2^31-1),unsigned long(无符号整数)是(0~2^32-1),都约为几十亿.如果采用实数型,则能保存最大的double只能提供15~16位的有效数字,即只能精确表达数百万亿的数.因此,在计算位数超过十几位的数时,不能采用现有类型,只能自己编程计算.
高精度计算通用方法:高精度计算时一般用一个数组来存储一个数,数组的一个元素对应于数的一位(当然,在以后的学习中为了加快计算速度,也可用数组的一个元素表示数的多位数字,暂时不讲),表示时,由于数计算时可能要进位,因此为了方便,将数由低位到高位依次存在数组下标对应由低到高位置上,另外,我们申请数组大小时,一般考虑了最大的情况,在很多情况下,表示有富余,即高位有很多0,可能造成无效的运算和判断,因此,我们一般将数组的第0个下标对应位置来存储该数的位数.如数:3485(三千四百八十五)，表达在数组a[10]上情况是:
下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
内容 4 5 8 4 3 0 0 0 0 0
说明：位数 个位 十位 百位 千位
具体在计算加减乘除时方法就是小学时采用的列竖式方法．
注：高精度计算时一般用正数，对于负数，通过处理符号位的修正．
一．高精度数的存储
１．如对数采用的字符串输入
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 using namespace std; 4 const int N=100;//最多100位 5 int main() 6 { 7 int a[N+1],i; 8 string s1; 9 cin>>s1;//数s1 10 memset(a,0,sizeof(a)); //数组清0 11 a[0]=s1.length(); //位数 12 for(i=1;i<=a[0];i++) a[i]=s1[a[0]-i]-'0';//将字符转为数字并倒序存储． 13 return 0; 14 }
2.直接读入
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 const int N=100;//最多100位 4 int main() 5 { 6 int a[N+1],i,s,key; 7 cin>>key;//数key 8 memset(a,0,sizeof(a)); //数组清0 9 i=0;//第0位 10 while(key) //当key大于0 11 { 12 a[++i]=key%10;//取第i位的数 13 key=key/10; 14 } 15 a[0]=i; //共i位数 16 return 0; 17 }
3.直接初始化(用a[]存储)
初始化为0: memset(a,0,sizeof(a));
初始化为1: memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;a[1]=1;
以下程序都只写函数，不写完整程序，所有高精度数存储都满足上述约定。
二.高精度数比较
1 int compare(int a[],int b[]) //比较a和b的大小关系，若a>b则为1，a<b则为-1,a=b则为0 2 {int i; 3 if (a[0]>b[0]) return 1;//a的位数大于b则a比b大 4 if (a[0]<b[0]) return -1;//a的位数小于b则a比b小 5 for(i=a[0];i>0;i--) //从高位到低位比较 6 {if (a[i]>b[i]) return 1; 7 if (a[i]<b[i]) return -1;} 8 return 0;//各位都相等则两数相等。 9 }
三、高精度加法
1 int plus(int a[],int b[]) //计算a=a+b 2 {int i,k; 3 k=a[0]>b[0]?a[0]:b[0]; //k是a和b中位数最大的一个的位数 4 for(i=1;i<=k;i++) 5 {a[i+1]+=(a[i]+b[i])/10; //若有进位，则先进位 6 a[i]=(a[i]+b[i])%10;} //计算当前位数字,注意：这条语句与上一条不能交换。 7 if(a[k+1]>0) a[0]=k+1; //修正新的a的位数（a+b最多只能的一个进位） 8 else a[0]=k; 9 return 0; 10 }
四、高精度减法
1 int gminus(int a[],int b[]);//计算a=a-b，返加符号位0:正数 1:负数 2 { int flag,i 3 flag=compare(a,b); //调用比较函数判断大小 4 if (falg==0)//相等 5 {memset(a,0,sizeof(a));return 0;} //若a=b，则a=0,也可在return前加一句a[0]=1,表示是 1位数0 6 if(flag==1) //大于 7 { for(i=1;i<=a[0];i++) 8 { if(a[i]<b[i]){ a[i+1]--;a[i]+=10;} //若不够减则向上借一位 9 a[i]=a[i]-b[i];} 10 while(a[a[0]]==0) a[0]--; //修正a的位数 11 return 0;} 12 if (flag==-1)//小于 则用a=b-a,返回-1 13 { for(i=1;i<=b[0];i++) { if(b[i]<a[i]){ b[i+1]--;b[i]+=10;} //若不够减则向上借一位 14 a[i]=b[i]-a[i];} 15 a[0]=b[0]; 16 while(a[a[0]]==0) a[0]--; //修正a的位数 17 return -1;} 18 }
五、高精度乘法1(高精度乘单精度数，单精度数是指通常的整型数)
1 int multi1(int a[],long key) //a=a*key,key是单精度数 2 {int i,k; 3 if (key==0){memset(a,0,sizeof(a));a[0]=1;return 0;} //单独处理key=0 4 for(i=1;i<=a[0];i++)a[i]=a[i]*key;//先每位乘起来 5 for(i=1;i<=a[0];i++){a[i+1]+=a[i]/10;a[i]%=10;} //进位 6 //注意上一语句退出时i=a[0]+1 7 while(a[i]>0) {a[i+1]=a[i]/10;a[i]=a[i]%10;i++;a[0]++];} //继续处理超过原a[0]位数的进位,修正a的位数 8 return 0; 9 }
六、 高精度除以低精度；
算法：按照从高位到低位的顺序，逐位相除。在除到第j位时，该位在接受了来自第j+1位的余数后与除数相除，如果最高位为零，则商的长度减一。源程序如下：
1 #include <stdio.h> 2 #define N 500 3 main() 4 { 5 int a[N] = {0}, c[N] = {0}; 6 int i, k, d, b; 7 char a1[N]; 8 printf("Input 除数:"); 9 scanf("%d", &b); 10 printf("Input 被除数:"); 11 scanf("%s", a1); 12 k = strlen(a1); 13 for(i = 0; i < k; i++) a[i] = a1[k - i - 1] - '0'; 14 d = 0; 15 for(i = k - 1; i >= 0 ; i--) 16 { 17 d = d * 10 + a[i]; 18 c[i] = d / b; 19 d = d % b; 20 } 21 while(c[k - 1] == 0 && k > 1) k--; 22 printf("商="); 23 for(i = k - 1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]); 24 printf(" 余数=%d", d); 25 }
七、高精度乘以高精度（要求用尽可能少的存储单元）；
算法：用数组保存两个高精度数，然后逐位相乘，注意考虑进位和总位数。源程序如下：
1 #include <stdio.h> 2 main() 3 { 4 int a[240] = {0}, b[240] = {0}, c[480] = {0}; 5 int i, j, ka, kb, k; 6 char a1[240], b1[240]; 7 gets(a1); 8 ka = strlen(a1); 9 gets(b1); 10 kb = strlen(b1); 11 k = ka + kb; 12 for(i = 0; i < ka; i++) a[i] = a1[ka-i-1] - '0'; 13 for(i = 0; i < kb; i++) b[i] = b1[kb-i-1] - '0'; 14 for(i = 0; i < ka; i++) 15 for(j = 0; j < kb; j++) 16 { 17 c[i + j] = c[i + j] + a[i] * b[j]; 18 c[i + j +1] = c[i + j +1] + c[i + j]/10; 19 c[i + j] = c[i + j] % 10; 20 } 21 if(!c[k]) k--; 22 for(i = k-1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]); 23 }
八、高精度除以高精度（要求用尽可能少的存储单元）；
算法：用计算机模拟手算除法，把除法试商转化为连减。
1 #include <stdio.h> 2 #define N 500 3 int bj(int a[], int b[], int k1, int k2) /*比较大小函数*/ 4 { 5 int i, t, flag; /*flag作标志位*/ 6 if(k1 < k2) 7 flag = 0; /*被除数小于除数返回0*/ 8 else if(k1 > k2) 9 flag = 1; /*被除数大于除数返回1*/ 10 else 11 { /*被除数和除数位数相等则逐位进行比较*/ 12 i = k1; 13 t = 0; 14 while(t == 0 && i > 0) 15 { 16 if(a[i] > b[i]) {t = 1; flag = 1;} 17 else if(a[i] == b[i]) i--; 18 else {t = 1; flag = 0;} 19 } 20 if(i == 0 && t == 0) flag = 2; /*被除数等于除数返回2*/ 21 } 22 return flag; 23 } 24 int jf(int a[], int b[], int k1, int k2) /*减法运算*/ 25 { 26 int i, k, d[N]; 27 for(i = 0; i < k2; i++) d[i] = b[i]; /*把除数赋给数组d*/ 28 for(i = k2; i < N; i++) d[i] = 0; /*d数组无数据的高位置0*/ 29 k = k1 - k2 - 1; /*计算减法起始位置*/ 30 if(k < 0) k = 0; 31 if(k > 0) 32 { 33 for(i = k2 - 1; i >= 0; i--) d[i + k] = d[i]; /*移动减数位数与被减数对齐*/ 34 for(i = 0; i < k; i++) d[i] = 0; /*移动后的其余位置0*/ 35 } 36 for(i = 0; i < k1; i++) 37 { 38 if(a[i] >= d[i]) a[i] -= d[i]; 39 else 40 { 41 a[i + 1] = a[i + 1] - 1; 42 a[i] = 10 + a[i] - d[i]; 43 } 44 } 45 return k; 46 } 47 main() 48 { 49 int a[N] = {0}, b[N] = {0}, c[N] = {0}, d[N] = {0}; 50 int i, ka, kb, m, t, t1, t2, k, x, kd, kk; 51 char a1[N], b1[N]; 52 printf("Input 被除数:"); 53 scanf("%s", a1); 54 ka = strlen(a1); 55 for(i = 0; i < ka; i++) a[i] = a1[ka - i -1] - '0'; 56 printf("Input 除数:"); 57 scanf("%s", b1); 58 kb = strlen(b1); 59 for(i = 0; i < kb; i++) b[i] = b1[kb - i -1] - '0'; 60 kd = ka; /*保存被除数位数 */ 61 t2 = bj(a, b, ka, kb); 62 m = 0; 63 do 64 { 65 while(a[ka - 1] == 0) ka--; 66 t = bj(a, b, ka, kb); 67 if(t >= 1) 68 { 69 k = jf(a, b, ka, kb); 70 c[k]++; 71 if(k > m) m = k; 72 t1 = 0; 73 for(i = k; i <= m; i++) 74 { 75 x = c[i] + t1; 76 c[i] = x % 10; 77 t1 = x / 10; 78 } 79 if(t1 > 0) {m++; c[m] = t1; } 80 } 81 }while(t == 1); 82 if(t2 == 0) 83 { 84 printf("商=0"); 85 printf(" 余数="); 86 for(i = kd - 1; i >= 0; i--) printf("%d", a[i]); 87 exit(1); 88 } 89 if(t2 == 2) 90 { 91 printf("商 = 1"); 92 printf(" 余数 = 0"); 93 exit(1); 94 } 95 kk = kd; 96 while(!c[kd - 1]) kd--; 97 printf("商 = "); 98 for(i = kd - 1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]); 99 while(!a[kk]) kk--; 100 printf(" 余数 = "); 101 if(kk < 0) 102 { 103 printf("0"); 104 exit(1); 105 } 106 for(i = kk; i >= 0; i--) printf("%d", a[i]); 107 }
下面给出一些案例：
问题1. N！，要求精确到P位（0〈P〈1000〉。
算法：结果用数组a保存，开始时a[0]=1，依次乘以数组中各位，注意进位和数组长度的变化。源程序如下：
1 #include <stdio.h> 2 #define M 1000 3 main() 4 { 5 int a[M], i, n, j, flag = 1; 6 printf("n="); 7 scanf("%d",&n); 8 printf("n!="); 9 a[0] = 1; 10 for(i = 1; i < M; i++) a[i] = 0; 11 for(j = 2; j <= n; j++) 12 { 13 for(i = 0; i < flag; i++) a[i] *= j; 14 for(i = 0; i < flag; i++) 15 if(a[i] >= 10) 16 { 17 a[i+1] += a[i]/10; 18 a[i] = a[i] % 10; 19 if(i == flag-1) flag++; 20 } 21 } 22 for(j = flag - 1; j >= 0; j--) 23 printf("%d", a[j]); 24 }
问题2. 麦森数
【问题描述】形如2P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）
【输入格式】
文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）
【输出格式】
第一行：十进制高精度数2P-1的位数。
第2-11行：十进制高精度数2P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证2P-1与P是否为素数。
【输入样例】
1279
【输出样例】
386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087
算法：2的幂可以转化成左移运算，为了提高运算速度，可每次左移10位，即每次乘210。对于个位单独考虑，每次左移一位。源程序如下：
1 #include <stdio.h> 2 #include <math.h> 3 #define MAX 100000 4 main() 5 { 6 int p; 7 int i, j; 8 scanf("%d", &p); 9 printf("%d ", (int)(p * log10(2.0)) + 1); 10 long store[110] = {0}; 11 store[0] = 1; 12 int left = p % 10; 13 p /= 10; 14 for(i = 1; i <= p; i++) 15 { 16 for(j = 0; j <= 100; j++) 17 store[j] <<= 10; 18 for(j = 0; j <= 100; j++) 19 { 20 if(store[j] >= MAX) 21 { 22 store[j + 1] += store[j] / MAX; 23 store[j] %= MAX; 24 } 25 } 26 } 27 for(i = 1; i <= left; i++) 28 { 29 for(j = 0; j <= 100; j++) 30 store[j] <<= 1; 31 for(j = 0; j <= 100; j++) 32 { 33 if(store[j] >= MAX) 34 { 35 store[j + 1] += store[j] / MAX; 36 store[j] %= MAX; 37 } 38 } 39 } 40 store[0] -= 1; 41 for(i = 1; i < 100; i++) 42 { 43 if(store[i - 1] < 0) 44 { 45 store[i] -= 1; 46 store[i - 1] += MAX; 47 } 48 else 49 break; 50 } 51 for(i = 99; i >= 0; i--) 52 { 53 printf("%05d", store[i]); 54 if((100 - i) % 10 == 0) 55 printf(" "); 56 } 57 }
问题3. 有一个正整数N（N可能达到120位），它是由若干个不大于65535的正整数相乘而得到的。请把这个数分解成素数因子（质因子）的乘积。
输入：输入文件只有一行为N的值。
输出：（1）素数因子由小到大分行输出；
（2）每一行输出一个素数因子和该素数因子的个数，用一个空格分开；
（3）如果正整数N的分解中有一个以上的大于65535的素数，请按照（1）、（2）的要求输出分解中的小于65535的素数后，在下一行输出
“DATA ERROR！”。
算法：先将2到65535之间的所有素数保存在数组中，用这个数去除数组中的每一个数，得到一个质因数就打印出来。源程序如下：
1 #include <stdio.h> 2 #include <math.h> 3 int length, temp[120]; 4 int sushu(int a[]) 5 { 6 int i, j, k = 0, m; 7 for(i = 2; i <= 65537; i++) 8 { 9 m = sqrt(i); 10 for(j = 2; j <= m; j++) 11 if(i % j == 0) break; 12 if(j > m) 13 { 14 a[k] = i; 15 k++; 16 } 17 } 18 return k; 19 } 20 int divide(int a[], int k) 21 { 22 int i, d = 0; 23 for(i = length - 1; i >= 0; i--) 24 { 25 d = d * 10 + a[i]; 26 temp[i] = d / k; 27 d = d % k; 28 } 29 if(!d) 30 { 31 while(temp[length - 1] == 0 && length > 1) length--; 32 for(i = 0; i < length; i++) 33 { 34 a[i] = temp[i]; 35 temp[i] = 0; 36 } 37 for(i = length; i < 120; i++) a[i] = 0; 38 } 39 else 40 for(i = 0; i < length; i++) temp[i] = 0; 41 return d; 42 } 43 main() 44 { 45 int i, k, s, d; /*s计数器; d余数*/ 46 int a[6600], b[120] = {0}, c[120] = {0}; 47 char b1[120]; 48 gets(b1); 49 length = strlen(b1); 50 for(i = 0; i < length; i++) b[i] = b1[length - i - 1] - '0'; 51 k = sushu(a); 52 for(i = 0; i < k; i++) 53 { 54 s = 0; 55 d = divide(b, a[i]); 56 while(!d) 57 { 58 s++; 59 d = divide(b, a[i]); 60 } 61 if(i == k - 1) 62 63 { 64 printf("Data Error!"); 65 break; 66 }