最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现

概念

最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。

原理

[原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结，希望对大家能有用]

     给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。 

常见的曲线拟合方法:

     1.使偏差绝对值之和最小

     

     2.使偏差绝对值最大的最小

     

     3.使偏差平方和最小

     

     按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：

     1. 设拟合多项式为：

          

     2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

          

     3. 为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了： 

          

          

                         .......

          

     4. 将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：

          

          

                     .......

          

     5. 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

          

     6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

          

     7. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

实现

运行前提:

1. Python运行环境与编辑环境；
2. Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制2D图表，与matlab中的plot命令类似，而且用法也基本相同。

代码:

    # coding=utf-8  
      
    ''''' 
    程序:多项式曲线拟合算法 
    '''  
    import matplotlib.pyplot as plt  
    import math  
    import numpy  
    import random  
      
    fig = plt.figure()  
    ax = fig.add_subplot(111)  
      
    #阶数为9阶  
    order=9  
      
    #生成曲线上的各个点  
    x = numpy.arange(-1,1,0.02)  
    y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]  
    #ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='')  
    #,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"  
      
    #生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去  
    i=0  
    xa=[]  
    ya=[]  
    for xx in x:  
        yy=y[i]  
        d=float(random.randint(60,140))/100  
        #ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')  
        i+=1  
        xa.append(xx*d)  
        ya.append(yy*d)  
      
    '''''for i in range(0,5): 
        xx=float(random.randint(-100,100))/100 
        yy=float(random.randint(-60,60))/100 
        xa.append(xx) 
        ya.append(yy)'''  
      
    ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.')  
      
      
    #进行曲线拟合  
    matA=[]  
    for i in range(0,order+1):  
        matA1=[]  
        for j in range(0,order+1):  
            tx=0.0  
            for k in range(0,len(xa)):  
                dx=1.0  
                for l in range(0,j+i):  
                    dx=dx*xa[k]  
                tx+=dx  
            matA1.append(tx)  
        matA.append(matA1)  
      
    #print(len(xa))  
    #print(matA[0][0])  
    matA=numpy.array(matA)  
      
    matB=[]  
    for i in range(0,order+1):  
        ty=0.0  
        for k in range(0,len(xa)):  
            dy=1.0  
            for l in range(0,i):  
                dy=dy*xa[k]  
            ty+=ya[k]*dy  
        matB.append(ty)  
       
    matB=numpy.array(matB)  
      
    matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)  
      
    #画出拟合后的曲线  
    #print(matAA)  
    xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)  
    yya=[]  
    for i in range(0,len(xxa)):  
        yy=0.0  
        for j in range(0,order+1):  
            dy=1.0  
            for k in range(0,j):  
                dy*=xxa[i]  
            dy*=matAA[j]  
            yy+=dy  
        yya.append(yy)  
    ax.plot(xxa,yya,color='g',linestyle='-',marker='')  
      
    ax.legend()  
    plt.show()

运行效果: 

 

 

本文参考自http://blog.csdn.net/JairusChan