BZOJ 1001: [BeiJing2006]狼抓兔子【最大流/SPFA+最小割，多解】

1001: [BeiJing2006]狼抓兔子

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Description

现在小朋友们最喜欢的"喜羊羊与灰太狼",话说灰太狼抓羊不到，但抓兔子还是比较在行的，

而且现在的兔子还比较笨，它们只有两个窝，现在你做为狼王，面对下面这样一个网格的地形：

 

左上角点为(1,1),右下角点为(N,M)(上图中N=4,M=5).有以下三种类型的道路 

1:(x,y)<==>(x+1,y) 

2:(x,y)<==>(x,y+1) 

3:(x,y)<==>(x+1,y+1) 

道路上的权值表示这条路上最多能够通过的兔子数，道路是无向的. 左上角和右下角为兔子的两个窝，

开始时所有的兔子都聚集在左上角(1,1)的窝里，现在它们要跑到右下解(N,M)的窝中去，狼王开始伏击

这些兔子.当然为了保险起见，如果一条道路上最多通过的兔子数为K，狼王需要安排同样数量的K只狼，

才能完全封锁这条道路，你需要帮助狼王安排一个伏击方案，使得在将兔子一网打尽的前提下，参与的

狼的数量要最小。因为狼还要去找喜羊羊麻烦.

Input

第一行为N,M.表示网格的大小，N,M均小于等于1000.

接下来分三部分

第一部分共N行，每行M-1个数，表示横向道路的权值. 

第二部分共N-1行，每行M个数，表示纵向道路的权值. 

第三部分共N-1行，每行M-1个数，表示斜向道路的权值. 

输入文件保证不超过10M

Output

输出一个整数，表示参与伏击的狼的最小数量.

Sample Input

3 4
5 6 4
4 3 1
7 5 3
5 6 7 8
8 7 6 5
5 5 5
6 6 6

Sample Output

14

HINT

 2015.4.16新加数据一组，可能会卡掉从前可以过的程序。

Source

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1001

分析：最大流写法如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void write(int x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9)
    {
        write(x/10);
    }
    putchar(x%10+'0');
}
int ne;
const int N=1000010;
struct data
{
    int to,next,v;
}e[N<<3];
int head[N];
int h[N],q[N],ans;
inline void update(int u,int v,int w)
{
    ne++;
    e[ne].to=v;
    e[ne].v=w;
    e[ne].next=head[u];
    head[u]=ne;
}
inline bool BFS()
{
    int now,i;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    int t=0,w=1;
    q[t]=1;
    h[1]=0;
    while(t<w)
    {
        now=q[t];
        t++;
        i=head[now];
        while(i)
        {
            if(e[i].v&&h[e[i].to]<0)
            {
                q[w++]=e[i].to;
                h[e[i].to]=h[now]+1;
            }
            i=e[i].next;
        }
    }
    if(h[n*m]==-1)
        return false;
    return true;
}
inline int DFS(int x,int f)
{
    if(x==n*m)
        return f;
    int i=head[x];
    int w,used=0;
    while(i)
    {
        if(e[i].v&&h[e[i].to]==h[x]+1)
        {
            w=f-used;
            w=DFS(e[i].to,min(w,e[i].v));
            e[i].v-=w;
            e[i+1].v+=w;
            used+=w;
            if(used==f)
                return f;
        }
        i=e[i].next;
    }
    if(!used)
        h[x]=-1;
    return used;
}
inline void dinic()
{
    while(BFS())
    {
        ans+=DFS(1,0x7f7f7f7f);
    }
}
int main()
{
    n=read();
    m=read();
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            x=read();
            update(m*(i-1)+j,m*(i-1)+j+1,x);
            update(m*(i-1)+j+1,m*(i-1)+j,x);
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            x=read();
            update(m*(i-1)+j,m*(i)+j,x);
            update(m*(i)+j,m*(i-1)+j,x);
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            x=read();
            update(m*(i-1)+j,m*(i)+j+1,x);
            update(m*(i)+j+1,m*(i-1)+j,x);
        }
    }
    dinic();
    write(ans);
    return 0;
}

分析：最小割，上网看了别人的博客，学习到了s-t平面图的最小割的解法，把原图中的面看作点，起点和终点都等同于最外面的那一个面，原图中一条边权值为w，新图中就等同于此边在平面图中分割开的两个面（即新图中两个点）连一条边，权值为w。建模完成后，新图中的起点和终点的一条路径就穿插过原图的一些边，即一条路径等于原图中的一个割，所以最小割就等于新图的最短路径长度。确实很厉害。

推荐文章：《浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用》--周冬

下面给出SPFA+最小割代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void write(int x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9)
    {
        write(x/10);
    }
    putchar(x%10+'0');
}
#define M 2000001
int n,m,nm;
struct data
{
    int to,next,v;
}e[4*M];
int dis[M],q[M],head[M];
bool flag[M];
int ne;
inline void update(int u,int v,int w)
{
    ne++;
    e[ne].to=v;
    e[ne].v=w;
    e[ne].next=head[u];
    head[u]=ne;
    ne++;
    e[ne].to=u;
    e[ne].v=w;
    e[ne].next=head[v];
    head[v]=ne;
}
inline void spfa()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    int i,t=0,w=1;
    dis[0]=q[w]=0;flag[0]=1;
    while(t!=w)
    {
        int u=q[t++];
        flag[u]=0;
        if(t==M)t=0;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].v)
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].v;
                if(flag[v]==0)
                {
                    flag[v]=1;
                    q[w++]=v;
                    if(w==M)w=0;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    n=read();
    m=read();
    nm=(n*m-m-n+1)<<1;
    int x;
    for(int j=1;j<m;j++)
    {
        x=read();
        update(j,nm+1,x);
    }
    for(int i=1;i<n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            x=read();
            update((i<<1)*(m-1)+j,((i<<1)-1)*(m-1)+j,x);
        }
    }
    for(int j=1;j<m;j++)
    {
        x=read();
        update(0,((n<<1)-3)*(m-1)+j,x);
    }
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            x=read();
            if(j==1)
                update(0,(i<<1)*(m-1)+m,x);
            else if(j==m)
                update((i<<1|1)*(m-1),nm+1,x);
            else
                update((i<<1)*(m-1)+j-1,(i<<1)*(m-1)+j+m-1,x);
        }
    }
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            x=read();
            update((i<<1|1)*(m-1)+j,(i<<1)*(m-1)+j,x);
        }
    }
    spfa();
    write(dis[nm+1]);
    return 0;
}