切比雪夫多项式
概述：
切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
基本性质：
对每个非负整数n， Tn(x) 和 Un(x) 都为 n次多项式。 并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数， 在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。
按切比雪夫多项式的展开式：
一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下，多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw 递推公式计算。第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定。
也可以用母函数表示。
第二类切比雪夫多项式 由以下递推关系给出。
此时母函数为
Clenshaw递推公式
在数值分析中，Clenshaw递推公式 (由Charles William Clenshaw发现)是一个求切比雪夫多项式的值的递归方法。
切比雪夫多项式
N次切比雪夫多项式，是下面形式的多项式p(x)
其中Tn是n阶切比雪夫多项式
Clenshaw递推公式
Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。给定
我们定义
于是
(注)上面的公式在 N=0,1的情况下无意义。此时我们可以用下面的公式：
(downward, omit if N=0)
这里
或者
其中
是第二类切比雪夫多项式
棣莫弗（de Moivre）原理
设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），则:
Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].
解析
证：先讲一下复数的三角形式的概念。在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi.于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称为复数Z的辐角.
因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以
Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）
=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）
=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]
=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].
其实该定理可以推广为一般形式：
推广
设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：
Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].
解析
证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和欧拉（Euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。
利用棣莫弗定理有：
Z1Z2……Zn=r1r2……rn [cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]
如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2，……，Zn=rne^iθn,
Z1Z2……Zn=r1r2……rn e^i（θ1+θ2+……+θn)
这和指数的可加性一致.
在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z，则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.
下面这题可作为切比雪夫多项式的模版：
Trig Function
TimeLimit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit:32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 714 Accepted Submission(s): 206
Problem Description
f(cos(x))=cos(n∗x) holds for all x.
Given two integersn and m , you need to calculate the coefficient of x^m in f(x), modulo 998244353
Input
Multiple testcases (no more than 100).
Each test casecontains one line consisting of two integers n and m.
1≤n≤109,0≤m≤104
Output
Output the answerin a single line for each test case.
Sample Input
2 0
2 1
2 2
Sample Output
998244352
0
2
【题意】
给出一个函数，代入n,m后求出xm的系数，并取模输出。
【思路】
我们先尝试把cos(nx)化为cos(x)的形式，然后把cos(x)用x代换，就可以得到f(x)=...的形式，然后就能得到所求的系数了。
那么我们如何把cos(nx)化为cos(x)的形式呢。
其实可以尝试着暴力写出前几项的形式。如下图：
由写出的式子，我们可以发现以下几点：
- 当m大于n时，答案显然为0。
- 当n为奇数且m为偶数或n为偶数且m为奇数时答案显然为0。
- 当n为奇数，且m为1时，答案的绝对值为n。
- 当n为偶数，且m为0时，答案的绝对值为1。
- 其余情况答案的绝对值均为【 n * (n-m+2) * (n-m+4) * ... * (n+m-4) * (n+m-2) 】/(m!)。(注意逆元的运用)
- 上面出现绝对值的情况，3和4 当(n/2)%2 == 0 时符号为正，否则为负；5 当((n-m)/2)%2 == 0时，符号为正，否则符号为负。
依照这个规律分类讨论一下即可。
于是我们可以得到以下一般解析式
注意"!!"不是阶乘的阶乘，而是不超过n且与n具有相同奇偶性的所有正整数连乘积。
n分类讨论下,当n为偶数时m=2*k, n为奇数时m=2*k-1
还有注意下"!!"的约分,可能下面的比上面的大
于是我们就得到了以下代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int maxn=1e5+5; 5 const int mod=998244353; 6 ll fac[maxn]={1}; 7 ll n,m; 8 void init() 9 { 10 for(int i=1;i<maxn;i++) 11 fac[i]=fac[i-1]*i%mod; 12 } 13 ll qmod(ll x,int q) 14 { 15 ll res=1; 16 while(q) 17 { 18 if(q%2) 19 res=res*x%mod; 20 x=x*x%mod; 21 q/=2; 22 } 23 return res; 24 } 25 int main(void) 26 { 27 init(); 28 while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)) 29 { 30 if(m>n) 31 puts("0"); 32 else if(n%2&&m%2==0) 33 puts("0"); 34 else if(n%2==0&&m%2) 35 puts("0"); 36 else 37 { 38 ll fz=n%mod; 39 if(m>=1) 40 { 41 for(int i=n-m+1;i<=n+m-1;i++) 42 { 43 if(i%2==(n+m-2)%2) 44 { 45 fz=fz*i%mod; 46 } 47 } 48 ll tmp=fz*qmod(fac[m],mod-2)%mod; 49 if((n-m)/2%2) 50 tmp=-tmp; 51 printf("%lld ",(tmp+mod)%mod); 52 } 53 else 54 { 55 ll t=1; 56 for(int i=n+m-1;i<=n-m;i++) 57 { 58 if(i%2==(n+m-2)%2) 59 t=t*i%mod; 60 } 61 ll tmp=fz*qmod(fac[m],mod-2)%mod*qmod(t, mod-2)%mod; 62 if((n-m)/2%2) 63 tmp=-tmp; 64 printf("%lld ",(tmp+mod)%mod); 65 } 66 } 67 } 68 }