行列式本质上是要通过一个数字反应矩阵的某些信息，目前看来不是很重要，快速过一遍。
性质
引入是通过3个基本性质：
- (det(I)=1)
- 交换两行，行列式的值变号：置换矩阵(det(P)=egin{cases} 1& ext{交换偶数次}\ -1& ext{交换奇数次}\ end{cases})
- (left|egin{array}{cccc} ta & tb\ c & d\ end{array} ight|=tleft|egin{array}{cccc} a & b\ c & d\ end{array} ight|,left|egin{array}{cccc} a+a' & b+b'\ c & d\ end{array} ight|=left|egin{array}{cccc} a & b\ c & d\ end{array} ight|+left|egin{array}{cccc} a' & b'\ c & d\ end{array} ight|)
由3个基本性质可以推出若干：
- 若两行相等，则(det(A)=0)
交换相等的2行，矩阵不变，行列式的值不变，根据性质2：(det(A)=-det(A))，得证。 - 初等行变换不改变行列式的值
- 有一行全为0，行列式为0
- 上三角矩阵的行列式等于主对角线元素之积：(det(U)=d_1d_2...d_n)
对于任意矩阵，通过初等行变换可以得到(U)，接着向上消元并提出对角线的因子，可以得到(I)。
这也是Matlab求行列式的方法。 - (det(A)=0Leftrightarrow A是奇异矩阵(消元后有全0行))
(det(A) eq0Leftrightarrow A可逆Rightarrow URightarrow d_1d_2...d_n eq0) - (det(AB)=det(A)*det(B) Rightarrow det(A^{-1})=frac{1}{det(A)})
- (det(A^T)=det(A))，可以通过LU分解去证，这也意味着对行成立的性质对列也成立。
计算方法
上一节中介绍了消元化上三角求行列式的方法，本节介绍2种不常用的方法，所有计算都可以通过上一节的3个基本性质获得：
对于二阶，拆解后有2个非零项：
对于三阶，拆解后有6个非零项：
接着可以通过交换行得到对角阵并求得结果。
如果我们观察每一项：从第一行到最后一行，列下标是((1,2,3))的某个全排列，因此可以知道展开以后非零项一共有(n!)项(第一行有(n)种选择，第二行有(n-1)种选择...)，于是可以得到第二种计算行列式的方法：
正负号取决于交换了几次得到((1,2,3...))这种朴素的排列。
举例来看：
可以先取((1,3))位置，接着只能取((2,2))，接着((3,1))，最后((4,4))，所以列的排列是((3,2,1,4))，交换一次可得((1,2,3,4))，故有一非零项-1；
还可以先取((1,4))，接着((2,3))，((3,2))，最后((4,1))，列的排列是((4,3,2,1))，交换2次可得((1,2,3,4))，故有一非零项1，除此以外，没有别的选择，所以行列式的值是0。
如果我们对上述拆解三阶行列式的结果提取公因子：
我们穷举了第一行的3种可能的选择(a_{11},a_{12},a_{13})，对于每种选择，当前行与当前列都不能再用，括号中的式子叫做代数余子式(C_{ij})：去掉(a_{ij})所在行列的(n-1)阶行列式，并且正负号取决于(i+j)的奇(-)偶(+)。
这样我们得到了求行列式的第三种方法：
举例来看，对于三对角行列式：
容易知：(det(A_1)=1,det(A_2)=left|egin{array}{cccc}
1 & 1\
1 & 1\
end{array}
ight|=0,det(A_3)=left|egin{array}{cccc}
1 & 1 & 0\
1 & 1 & 1\
0 & 1 & 1\
end{array}
ight|=-1)。
对于四阶，我们按第一列展开：(det(A_4)=1*det(A_3)-1*det(A_2)=-1)，此式可以推广：(det(A_n)=det(A_{n-1})-det(A_{n-2}))，可以发现上述三对角行列式是以6为周期的。
应用
- 求逆矩阵
记得当年矩阵求逆教了一种伴随矩阵的方法：(A^{-1}=frac{1}{det(A)}C^T)，不知为何物？
只要证明(AC^T=det(A)I)即可：
对于主对角线上的元素：(a_{11}C_{11}+...+a_{1n}C_{1n}=det(A))；
对于其它元素：(a_{11}C_{n1}+...+a_{1n}C_{nn}=left|egin{array}{cccc}
a_{11} & ... & a_{1n}\
... & & ...\
a_{11} & ... & a_{1n}\
end{array}
ight|=0)。
- 求解(Ax=b)
求解：(x=A^{-1}b=frac{1}{det(A)}C^Tb)，那么考虑(x_1=frac{1}{det(A)}(b_1c_{11}+..+b_nc_{n1}))，(b_1c_{11}+..+b_nc_{n1})其实是将矩阵(A)的第一列换为(b)，按照第一列展开求行列式的值即可，同理可以求得其它(x_i)，这种差到没人用的方法竟然被国内教材奉为圭臬。 - 求体积
(det(A))的绝对值可以定义为一个平行六面体的体积，正负表示左手系还是右手系。
将三阶矩阵(A)的每行(列)当作平行六面体的一条边，如果(A=I)，我们得到一个标准的单位立方体；如果(A=Q)，我们得到一个旋转过的单位立方体，体积仍然为1，可以通过(Q^TQ=I)验证。
如果是二维情况，那么(det(A))的绝对值就是平行四边形的面积：
那么三角形的面积就是(frac{1}{2}S)，推广到向量的起始位置不在((0,0))的情况：
可以通过平移到原点去证明。
作业
A Hadamard matrix H is a matrix with entries ±1 and orthogonal columns. What is the determinant of H as a function of n? (Hadamard matrices are conjectured to exist for every n that is a multiple of 4, but nobody knows if there is such a matrix even for n=668).
由于(H)各列正交，故(H^TH=cI)；又(H)的元素只有±1，故(c=n)。所以(det(H)^2=n^n,det(H) = pmsqrt{n^n})，即(n)阶Hadamard矩阵的行列式既可以为正，也可以为负。