糖果大战 hdu1204

糖果大战

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Problem Description

生日Party结束的那天晚上，剩下了一些糖果，Gandon想把所有的都统统拿走，Speakless于是说：“可以是可以，不过我们来玩24点，你不是已经拿到了一些糖果了吗？这样，如果谁赢一局，就拿走对方一颗糖，直到拿完对方所有的糖为止。”如果谁能算出来而对方算不出来，谁就赢，但是如果双方都能算出或者都不能，就算平局，不会有任何糖果的得失。 
Speakless是个喜欢提前想问题的人，既然他发起了这场糖果大战，就自然很想赢啦（不然可就要精光了-_-）。现在他需要你的帮忙，给你他每局赢的概率和Gardon每局赢的概率，请你给出他可能获得这场大战胜利的概率。

 

Input

每行有四个数，Speakless手上的糖果数N、Gardon手上的糖果数M(0<=N,M<=50)、一局Speakless能解答出来的概率p、一个问题Gardon能解答出来的概率q(0<=p,q<=1)。

 

Output

每行一个数，表示Speakless能赢的概率（用百分比计算，保留到小数点后2位）。

 

Sample Input

50 50 0.5 0.5 10 10 0.51 0.5 50 50 0.51 0.5

 

Sample Output

0.50 0.60 0.88

 

Author

Speakless

 

我们用Xt表示t时刻S君手中的糖果数, 则{Xt,t=0, 1, 2.....}是一个Markov Chain. 其状态转移概率为
                    P00=PNN=1, 这里N = m+n
                    Pi, i+1=p(1-q), Pi, i-1=(1-p)q, Pi, i=1-p(1-q)-q(1-p), i=1, 2, 3...., N-1; (*)
该MC的状态有3类{0}, {1, 2, ..., N-1}, 以及{N}, 其中第二类是非常返的, 第一三类是常返的, 因为每个一非常返态通常仅到达有穷多次, 所以在进行可以在进行有穷多次博弈后, S君或者最终赢得所有糖果, 或者输掉所有糖果.
　　这里我们的定义fi=fiN=Pr(S君经过有限次博弈赢得N个糖果|X0=i), 这里fi是一个条件概率, 就是开始的时候有i个糖果, 最中赢得N个糖果的概率. 从(*)式可以知道, 当我们有在某时刻t有i个糖果, 我们可以有三种途径可以最终赢得N个糖果. 1. 赢得一个糖果, 概率是p(1-q), 这是下一个时刻t+1G君就有了i+1个糖果. 2. 输掉比赛, 在下一个时刻变成了i-1个糖果, 概率是q(1-p). 3. 打成平手, 下一个时刻还有i个糖果, 概率是1-p(1-q)-q(1-p). 这样我么就可以得到如下公式
                   fi=p(1-q)*fi+1+q(1-p)*fi-1+(1-p(1-q)-q(1-p))*fi
令 P=p(1-q), Q=q(1-p), K=Q/P, 则
　　              fi+1-fi=K(fi-fi-1)
fi+1-fi是简单的等比数列, 则 fi+1-fi=Ki(f1-f0). 注意到fN=1,  f0=0, 这里N=m+n;
　　　　　　　f2-f1=Kf1
　　　　　　　f3-f2=K2f1
　　　　　　　................
　　　　　　   fn-fn-1=Kn-1f1
                   ..............
                   fm+n-fm+n-1=Km+n-1f1
相加一下, fn=(1+K+K2+...+Kn-1)f1, fn+m=(1+K+K2+...+Km+n-1)f1
所以fn=(1+K+K2+...+Kn-1)/(1+K+K2+...+Km+n-1), k!=1时, 可以化简为fn=(1-Kn)/(1-Km+n)
http://friends119119.blog.163.com/blog/static/12434199520100299446587/

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#define eps 0.001
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    double p,q;
    while(cin>>n>>m>>p>>q)
    {
        double k=(q*(1-p))/(p*(1-q));
        if(n==0)cout<<"0.00"<<endl;
        else
        if(m==0)cout<<"1.00"<<endl;
        else
        if(fabs(p)<eps||fabs(q-1.0)<eps)cout<<"0.00"<<endl;
        else
        if(fabs(p-1.0)<eps||fabs(q)<eps)cout<<"1.00"<<endl;
        else
        if(fabs(k-1.0)<eps)printf("%.2lf
",(double)n/(m+n));
        else {
        double an=(1-pow(k,n))/(1-pow(k,m+n));
        printf("%.2lf
",an);
        }
    }
}