洛谷 P4548

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PGF 入门好题。

首先介绍一下 PGF 的基本概念。对于随机变量 (X)，满足 (X) 的取值总是非负整数，我们即 (P(v)) 表示 (X=v) 的概率，那么我们定义 (X) 的概率生成函数为 (F(x)=sumlimits_{nge 0}P(n)x^n)。较一般的生成函数有所不同的是，对于概率生成函数 (F(1)=1) 必然成立，因为 (X) 取遍所有值的概率之和为 (1)。此外，(X) 的期望 (E(X)) 也可表示为 (sumlimits_{nge 0}P(n)·n=F'(1))，同理 (X) 的方差 variant 也可被表示为 (F''(1)+F'(1)-F'(1)^2)，这个可以由方差基本公式 (E(X^2)-E(X)^2) 推得。

接下来考虑这道题。我们设 (P(x)) 为刚好唱了 (x) 秒的概率，(Q(x)) 为唱了至少 (x+1) 秒的概率，再记 (F(x),G(x)) 分别为 (P(x),Q(x)) 的 PGF，那么考虑 (F,G) 之间有什么联系，首先：

[P(x)+Q(x)=P(x-1)(xge 1) ]

这是因为至少唱 (x) 秒的概率就是恰好 (x) 秒的概率加上至少 (x+1) 秒的概率。

写成 PGF 的形式就是

[F(x)+G(x)=1+xG(x) ]

我们再从酋长的名字 (a) 的角度列式子。我们考虑一个时刻 (t)，如果唱了 (t) 秒后还没有唱出酋长的名字，并且在接下来 (len) 秒后刚好唱出了酋长的名字，那么这样的概率就是 (Q(x)·dfrac{1}{n^{len}})，再考虑将这个概率表示成 (P) 的形式，我们考虑什么时第一次唱出酋长的名字，我们假设在时刻 (t+t')，显然 (t'in[1,len])，那么这样的概率就是 (P(t+t')·dfrac{1}{n^{len-t'}})，但是一个 (t') 不一定符合条件。不难发现由于我们钦定 ([t+1,t+len]) 唱出的部分刚好是酋长的名字，而由于我们钦定 (t+t') 时刻刚好唱出酋长的名字，因此必须有 (a_i=a_{t-t'+i})，也就是 (a) 存在长度为 (t') 的 border。如果我们设 (b_i) 表示 (a) 是否存在长度 (i) 的 border，那么

[Q(x)·dfrac{1}{n^{len}}=sumlimits_{t'=1}^{len}b_{t'}·P(t+t')·dfrac{1}{n^{len-t'}} ]

写成 PGF 的形式就是

[G(x)·(dfrac{1}{n}x)^{len}=sumlimits_{t'=1}^{len}b_{t'}·F(x)·(dfrac{1}{n}x)^{len-t'} ]

考虑将两个式子结合起来。对记一个式子求导可得：

[F'(x)+G'(x)=xG'(x)+G(x) ]

取 (x=1) 可得：

[E(x)=F'(1)=G(1) ]

也就是说答案等于 (G(1))。

再将答案代入第二个式子：

[G(1)·dfrac{1}{n^{len}}=sumlimits_{t'=1}^{len}b_{t'}·F(1)·dfrac{1}{n^{len-t'}} ]

再结合 (F(1)=1) 可得：

[E(x)=sumlimits_{i=1}^{len}b_i·n^{i} ]

哈希/KMP 求 border 即可线性求解答案。

const int MAXN=1e5;
const int BS=333337;
const int HMOD=1004535809;
const int MOD=10000;
void print(int x){
	static int d[6];int len=0;
	while(x) d[len++]=x%10,x/=10;
	while(len<4) d[len++]=0;
	for(int i=3;~i;i--) printf("%d",d[i]);
	printf("
");
}
int n,qu,len,a[MAXN+5],pre[MAXN+5],suf[MAXN+5],pw[MAXN+5],pwn[MAXN+5];
void solve(){
	scanf("%d",&len);for(int i=1;i<=len;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=len;i++) pre[i]=(pre[i-1]+1ll*a[i]*pw[i-1])%HMOD;
	suf[len+1]=0;for(int i=len;i;i--) suf[i]=(1ll*suf[i+1]*BS+a[i])%HMOD;
	int res=0;for(int i=1;i<=len;i++) if(pre[i]==suf[len-i+1]) res=(res+pwn[i])%MOD;
	print(res);
}
int main(){
	int qu;scanf("%d%d",&n,&qu);
	for(int i=(pwn[0]=1);i<=MAXN;i++) pwn[i]=1ll*pwn[i-1]*n%MOD;
	for(int i=(pw[0]=1);i<=MAXN;i++) pw[i]=1ll*pw[i-1]*BS%HMOD;
	while(qu--) solve();
	return 0;
}