Leetcode: Best Time to Buy and Sell Stock III

Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.

Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most two transactions.

Note:
You may not engage in multiple transactions at the same time (ie, you must sell the stock before you buy again).

难度：99

参考了Code Ganker的解法。

这道题是Best Time to Buy and Sell Stock的扩展，现在我们最多可以进行两次交易。我们仍然使用动态规划来完成，事实上可以解决非常通用的情况，也就是最多进行k次交易的情况。
这里我们先解释最多可以进行k次交易的算法，然后最多进行两次我们只需要把k取成2即可。我们还是使用“局部最优和全局最优解法”。我们维护两种量，一个是当前到达第i天可以最多进行j次交易，最好的利润是多少（global[i][j]），另一个是当前到达第i天，最多可进行j次交易，并且最后一次交易在当天卖出的最好的利润是多少（local[i][j]）。下面我们来看递推式，全局的比较简单，

global[i][j]=max(local[i][j],global[i-1][j])，

也就是去当前局部最好的，和过往全局最好的中大的那个（因为最后一次交易如果包含当前天一定在局部最好的里面，否则一定在过往全局最优的里面）。对于局部变量的维护，递推式是

local[i][j]=max(global[i-1][j-1]+max(diff,0),local[i-1][j]+diff)，

也就是看两个量，第一个是全局到i-1天进行j-1次交易，然后加上今天的交易，如果今天是赚钱的话（也就是前面只要j-1次交易，最后一次交易取当前天），第二个量则是取local第i-1天j次交易，然后加上今天的差值（这里因为local[i-1][j]比如包含第i-1天卖出的交易，所以现在变成第i天卖出，并不会增加交易次数，而且这里无论diff是不是大于0都一定要加上，因为否则就不满足local[i][j]必须在最后一天卖出的条件了）。

如果上面不好理解，可以这样理解：对于局部变量，第i天最多进行j次交易，可以分两种情况：一是这第j次交易就是当天买入当天卖出的，那么最大收益就是  global[i-1][j-1] + max(diff, 0), diff为第i天当天股价变化。另一种情况是：第j次交易早就买入了，但是拖到第i天当天才卖出。这种情况分析起来有点绕，但是可以视为：第i-1天卖出的收益 + 第i天当天的股价变化，所以就是local[i-1][j] + diff. 这样想就好懂了。

一维DP：

public int maxProfit(int[] prices) {
    if(prices==null || prices.length==0)
        return 0;
    int[] local = new int[3];
    int[] global = new int[3];
    for(int i=0;i<prices.length-1;i++)
    {
        int diff = prices[i+1]-prices[i];
        for(int j=2;j>=1;j--)
        {
            local[j] = Math.max(global[j-1]+(diff>0?diff:0), local[j]+diff);
            global[j] = Math.max(local[j],global[j]);
        }
    }
    return global[2];
}

上面的算法中对于天数需要一次扫描，而每次要对交易次数进行递推式求解，所以时间复杂度是O(n*k)，如果是最多进行两次交易，那么复杂度还是O(n)。空间上只需要维护当天数据皆可以，所以是O(k)，当k=2，则是O(1)。

 二维DP：

public class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        return helper(prices, 2);
    }
    
    public int helper(int[] prices, int k) {
        int len = prices.length;
        if (len == 0) {
            return 0;
        }
        int[][] local = new int[len][k+1];
        int[][] global = new int[len][k+1];
        for (int i=1; i<len; i++) {
            int diff = prices[i] - prices[i-1];
            for (int j=1; j<=k; j++) {
                local[i][j] = Math.max(global[i-1][j-1]+Math.max(diff, 0), local[i-1][j]+diff);
                global[i][j] = Math.max(local[i][j], global[i-1][j]);
            }
        }
        return global[len-1][k];
    }
}