COGS2353 【HZOI2015】有标号的DAG计数 I

题面

题目描述

给定一正整数n，对n个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数，输出答案mod 10007的结果

输入格式

一个正整数n

输出格式

一个数，表示答案

样例输入

3

样例输出

25

提示

对于20%的数据：n<=5

对于50%的数据：n<=500

对于100%的数据：1<=n<=5000

题目分析

设(f(i))表示有(i)个点构成DAG图

设其中(j)个点出度为(0)，则有：

[f(i)=sum_{j=1}^iinom ij2^{(i-j)cdot j}cdot f(i-j) ]

意思是，在(i)个点中选出(j)个点有(inom ij)种方案，

在(i-j)个点与这(j)个点之间随意连边，(i-j)个点构成的图仍为DAG的情况数。

但由于无法保证那(i-j)个点一定出度不为(0)，所以需要容斥。

[f(i)=sum_{j=1}^iinom ij2^{(i-j)cdot j}cdot f(i-j)cdot (-1)^{j-1} ]

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=5005,mod=10007;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int f[N],c[N][N];
int ksm(int x,int k){
	int ret=1;
	while(k){
		if(k&1)ret=ret*x%mod;
		x=x*x%mod,k>>=1;
	}
	return ret;
}
int main(){
	freopen("DAG.in","r",stdin);
	freopen("DAG.out","w",stdout);
	int n=Getint();
	c[0][0]=f[0]=1;
	for(register int i=1;i<=n;c[i++][0]=1){
		for(register int j=1;j<=i;++j){
			c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
			f[i]=(f[i]+c[i][j]*ksm(2,j*(i-j)%(mod-1))%mod*f[i-j]%mod*((j&1)?1:-1)+mod)%mod;
		}
	} 
	cout<<f[n]; 
	return 0;
}