算法总结之拓扑排序

拓扑排序

1.一般应用

      拓扑排序常用来确定一个依赖关系集中，事物发生的顺序。例如，在日常工作中，可能会将项目拆分成A、B、C、D四个子部分来完成，但A依赖于B和D，C依赖于D。为了计算这个项目进行的顺序，可对这个关系集进行拓扑排序，得出一个线性的序列，则排在前面的任务就是需要先完成的任务。

2.实现的基本方法

　　(1)从有向图中选择一个没有前驱(即入度为0)的顶点并且输出它.

　　(2)从网中删去该顶点,并且删去从该顶点发出的全部有向边.

　　(3)重复上述两步,直到剩余的网中不再存在没有前趋的顶点为止.

3.C++版本实现

/*以邻接矩阵Edge[A][B]=N存放图信息：A指向B，权值为N*/
/*假设不相连的边的Edge==INT_MAX*/
void Topo()
{
    sort(Edge+1,Edge+N+1);
    for (int i=1; i<=N; i++)
    {
        int j;
        for (j=1; j<=N; i++)  //vis为标记数组，标记是否已经存在在Topo数组中
            if (!vis[j]&&!in[j]) //in数组表示的下标顶点的入度
            {
                Topo[i]=j;
                vis[j]=1;
                break;
            }
        for (int k=1;k<=N;k++) //将与j点相连的顶点的入度刷新
            if (Edge[j][k]!=INT_MAX)
                in[k]--;
    }
}

4.反向建图

　　拓扑排序并不一定唯一，有时会要求顶点数值大的尽量在前，这个时候应该反向建图，再进行拓扑排序，来保证更多小数值顶点在后面。（贪心思想？）

　　Eg：HDU 4857 POJ 3687（反向建图+拓扑排序）

5.优化

　　拓扑排序每次选择一个顶点进入序列后，要更新所有与这个顶点相连的顶点的入度。而上面的代码全是把所有的顶点都遍历了一边。

　　这里可以使用邻接表或者链式前向星这一类数据结构，来记录图的信息，可以做到只遍历与该顶点相连的顶点。

6.优先队列实现

/*优先队列+邻接表实现拓扑排序*/
void Topo()
{
    priority_queue<int> que;
    for (int i=1; i<=N; i++) //将入度为零的顶点压入队列
        if (dis[i]==0)
            que.push(i);
    int p=N+1;
    while (!que.empty())
    {
        int tmp=que.top();
        que.pop();
        topo[--p]=tmp;     //存入topo数组
        int z=first[tmp];
        while (z!=-1)       //邻接表遍历与tmp相连的顶点
        {
            dis[end[z]]--; //入度减一
            if(!dis[end[z]]) que.push(end[z]);
            z=next[z];
        }
    }
}