算法总结之欧几里德算法

算法总结之欧几里德算法

1.欧几里德算法

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。

　　其计算原理依赖于下面的定理：

　　gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)

代码实现：

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

2.扩展欧几里德算法

基本算法：

　　对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y，使得 gcd（a，b）=ax+by。
证明：
　　则我们先来假设方程的ax+by=gcd(a,b)=d的一个正整数解为x1,y1；别怀疑，这个方程一定有解

　　则有ax1+by1=gcd(a,b)   (1)

　　又对于方程bx +(a%b)y =gcd(b,a%b)有解x2,y2(假设)

　　则有bx2+(a%b)y2=gcd (b,a%b) = gcd(a, b) (2)

　　又a%b = a - (a/b)*b；

　　则(2)式变为bx2+(a-(a/b)*b)y2=gcd(a,b);

　　即 ay2 + b(x2-(a/b)*y2) = gcd (a,b) (3) ;

　　对比(1)(3)得

　　x1=y2;y1=x2-(a/b)*y2

　　故，ax+by=gcd(a,b)的解只需要在方程bx+(a%b)y=gcd(b,a%b)的解的基础上进行简单的运算就变成原来方程的解，

　　因为gcd不断递推时会有b=0的情况出现，故可以通过递推来得到方程的解。

代码实现：

LL extended_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) //返回值为gcd(a,b)
{
    LL ret,tmp;
    if (b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ret=extended_gcd(b,a%b,x,y);
    tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return ret;
}

3.一些结论

　　1) 方程 Ax+By=C 满足条件：C=K*Gcd(A,B) (K为整数) 则方程存在整数解。反之无解。

　　2) 设a，b，c为任意整数。若方程ax+by=c的一组整数解为(x0，y0)，则它的任意整数解都可以写成(x0+kb',y0-ka'),其中a'=a/gcd(a，b)，b'=b/gcd(a，b)，k为任意整数。

　　3) 若求出一组整数解(x1,x2) 设x0=x1%b' y0=y1%b' 则x0，y0为所有解中最接近零的解。