算法总结之几何模板

一 几何公式

三角形:

　　1. 半周长 P=(a+b+c)/2

　　2. 面积 S=aHa/2=absin(C)/2=sqrt(P(P-a)(P-b)(P-c))

　　3. 中线 Ma=sqrt(2(b^2+c^2)-a^2)/2=sqrt(b^2+c^2+2bccos(A))/2

　　4. 角平分线 Ta=sqrt(bc((b+c)^2-a^2))/(b+c)=2bccos(A/2)/(b+c)

　　5. 高线 Ha=bsin(C)=csin(B)=sqrt(b^2-((a^2+b^2-c^2)/(2a))^2)

　　6. 内切圆半径 r=S/P=asin(B/2)sin(C/2)/sin((B+C)/2)

　　　　=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=sqrt((P-a)(P-b)(P-c)/P)

　　　　=Ptan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)

　　7. 外接圆半径 R=abc/(4S)=a/(2sin(A))=b/(2sin(B))=c/(2sin(C))

四边形:

　　D1,D2为对角线,M对角线中点连线,A为对角线夹角

　　　　1. a^2+b^2+c^2+d^2=D1^2+D2^2+4M^2

　　　　2. S=D1D2sin(A)/2

　　　　(以下对圆的内接四边形)

　　　　3. ac+bd=D1D2

　　　　4. S=sqrt((P-a)(P-b)(P-c)(P-d)),P为半周长

　　正n边形:

　　R为外接圆半径,r为内切圆半径

　　　　1. 中心角 A=2PI/n

　　　　2. 内角 C=(n-2)PI/n

　　　　3. 边长 a=2sqrt(R^2-r^2)=2Rsin(A/2)=2rtan(A/2)

　　　　4. 面积 S=nar/2=nr^2tan(A/2)=nR^2sin(A)/2=na^2/(4tan(A/2))

圆:

　　1. 弧长 l=rA

　　2. 弦长 a=2sqrt(2hr-h^2)=2rsin(A/2)

　　3. 弓形高 h=r-sqrt(r^2-a^2/4)=r(1-cos(A/2))=atan(A/4)/2

　　4. 扇形面积 S1=rl/2=r^2A/2

　　5. 弓形面积 S2=(rl-a(r-h))/2=r^2(A-sin(A))/2

棱柱:

　　1. 体积 V=Ah,A为底面积,h为高

　　2. 侧面积 S=lp,l为棱长,p为直截面周长

　　3. 全面积 T=S+2A

棱锥:

　　1. 体积 V=Ah/3,A为底面积,h为高

　　(以下对正棱锥)

　　2. 侧面积 S=lp/2,l为斜高,p为底面周长

　　3. 全面积 T=S+A

棱台:

　　1. 体积 V=(A1+A2+sqrt(A1A2))h/3,A1.A2为上下底面积,h为高

　　(以下为正棱台)

　　2. 侧面积 S=(p1+p2)l/2,p1.p2为上下底面周长,l为斜高

　　3. 全面积 T=S+A1+A2

圆柱:

　　1. 侧面积 S=2PIrh

　　2. 全面积 T=2PIr(h+r)

　　3. 体积 V=PIr^2h

圆锥:

　　1. 母线 l=sqrt(h^2+r^2)

　　2. 侧面积 S=PIrl

　　3. 全面积 T=PIr(l+r)

　　4. 体积 V=PIr^2h/3

圆台:

　　1. 母线 l=sqrt(h^2+(r1-r2)^2)

　　2. 侧面积 S=PI(r1+r2)l

　　3. 全面积 T=PIr1(l+r1)+PIr2(l+r2)

　　4. 体积 V=PI(r1^2+r2^2+r1r2)h/3

球:

　　1. 全面积 T=4PIr^2

　　2. 体积 V=4PIr^3/3

球台:

　　1. 侧面积 S=2PIrh

　　2. 全面积 T=PI(2rh+r1^2+r2^2)

　　3. 体积 V=PIh(3(r1^2+r2^2)+h^2)/6

球扇形:

　　1. 全面积 T=PIr(2h+r0),h为球冠高,r0为球冠底面半径

　　2. 体积 V=2PIr^2h/3

 二 几何模板

　　1.Point结构体

struct point
{
    double x;
    double y;
}

　　2.叉乘：

/*p0为公共点*/
double xmult(Point p1,Point p2,Point p0){
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}

　　3.两点距离：

double dis(point p1,point p2){
    return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));
}

　　4.Graham算法求凸包时点的排序cmp：

bool cmp(point a,point b)
{
    if (CrossMul(a,b,p[1])>0 ||
            (CrossMul(a,b,p[1])==0&&dis(a,p[1])<dis(b,p[1]))) return true;
    return false;
}

　　5.凸包：1)两点的最远距离2)面积3)周长

int main()
{
    int n,i,j,top;
    while (cin>>n)
    {
        for (i=1; i<=n; i++)
        {
            cin>>p[i].x>>p[i].y;
            if (p[i].y<p[1].y||(p[i].y==p[1].y && p[i].x<p[1].x))
                swap(p[1],p[i]);
        }
        sort(p+2,p+n+1,cmp);
        top=0;
        q[++top]=p[1];
        q[++top]=p[2];
        for (i=3; i<=n; i++)
        {
            while (top>1 && CrossMul(q[top],p[i],q[top-1])<0) top--;
            q[++top]=p[i];
        }
        /*凸包直径*/
        int max=INT_MIN;
        for (int i=1;i<=top;i++)
            for (int j=1;j<i;j++)
                max=max>dis_2(q[i],q[j])?max:dis_2(q[i],q[j]);
        printf("%d
",max);
        /*凸包面积*/
        int area=0;
        for (int i=2;i<=top;i++)
            area+=CrossMul(q[i],q[i+1],q[1]);
        printf("%d
",abs(area));
        /*凸包周长*/
        double sum=dis(q[1],q[2]);
        for (i=3; i<=top; i++)
            sum+=dis(q[i],q[i-1]);
        sum+=dis(q[1],q[top]);
        printf("%d",sum);
    }
    return 0;
}

（未完待续）