矩阵乘法与邻接矩阵

矩阵乘法与邻接矩阵

矩乘结合律的证明 (:)

[egin{aligned}((mathbf{A B}) mathbf{C})[i, j] & \ &=sum_{l=1}^{c}left(sum_{k=1}^{b} mathbf{A}[i, k] mathbf{B}[k, l] ight) mathbf{C}[l, j] \ &=sum_{k=1}^{b} sum_{l=1}^{c} mathbf{A}[i, k] mathbf{B}[k, l] mathbf{C}[l, j] \ &=sum_{k=1}^{b} mathbf{A}[i, k]left(sum_{l=1}^{c} mathbf{B}[k, l] mathbf{C}[l, j] ight) \ &=(mathbf{A}(mathbf{B} mathbf{C}))[i, j] end{aligned} ]

矩阵乘法能进行快速幂运算的原因就是因为它具有结合律.

引例 (1:) [TJOI2017]可乐

相信很多人都能想出一个 (Theta(t imes m)) 的做法.(虽然我没想出来,但这只是因为我菜)

问题简化一下,如果我们没有在原地停留和自爆两个操作,那么就是问从起点出发,走 (t) 步的不同路径数.

这个问题怎么做呢?

不考虑 (Dp) .

令该图的邻接矩阵是 (G) , 那么我们考虑 (G^2) 是个什么东西.(此处的幂运算是指矩阵的幂).

我们单独考虑某一行和某一列的相关运算 (:) 令其为 (G_{a,i}) 和 (G_{i,b}) , 令 (G') 为相乘得到的矩阵,那么会有 (:)

[G'_{a,b} = sum_{i=1}^m{G_{a,i} imes G_{i,b}} ]

容易发现,当且仅当 (G_{a,i}) 和 (G_{i,b}) 都不为零,即 (i) 点可连通 (a,b) 两点的时候上式的该项才为 (1) , 否则为零.

那么所有的这些情况累加起来,就是从 (a) 到 (b) 长度为 (2) 的路径条数.(即走 (2) 步从 (a) 走到 (b) 的方案数,长度是 (2) 是因为经过一个中间点.)

由此,我们可以得到, (G^2) 得到的矩阵其实表示了任意两点间长度为 (2) 的路径条数.

那么 (G^3) 是否就表示任意两点间长度为 (3) 的路径条数呢?

令 (G'=G^2) , (G'') 为 (G^3). 那么有:

[G''=G' imes G ]

[G''_{a,b}=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n{G_{a,i} imes G_{i,j} imes G_{j,b}} ]

分析方法与上面相同,于是我们归纳结论如下:

令 (G) 表示一张图的邻接矩阵表示,那么 (G^i) 表示任意两点间长度为 (i) 的路径条数.

那么我们就解决了引例的简化问题.

那么怎么处理引例中的自爆和原地不动呢?

很简单,原地不动视为自环,自爆就额外建一个虚点,表示自爆,这里要注意的是,不需要从虚点连回原图,因为自爆之后就不能再走了.

于是我们解决了引例.

那么矩乘是否仅仅只有这一个用处呢?

引例 (2:) USACO07NOV Cow Relays

题目大意 (:) 求从 (s) 到 (t) 经过 (k) 条边的最短路.

这个问题乍一看很眼熟,似乎就是上一个问题在细节上做一下变换得到.

但你仔细思考会发现,最短路这个看似平凡的条件竟然不能用加法和乘法解决.

但其实这也合理,因为我们知道最短路的求法都是以类似于 (Dp) 的松弛操作为核心的,也就是说有一个核心运算 (: min!)

那么是否可以用矩阵解决这个运算呢?

考虑 (Floyd) 的过程,其核心代码是 (f_{i,j}=min(f_{i,j},f_{i,k}+f_{k,j}))

这给了我们一定启发,因为 (Floyd) 的过程和矩乘的过程十分相似.( (Floyd) 的本质是滚掉一维的三维 (Dp))

于是,我们大胆定义新的矩乘 (:)

令矩阵 (A) 和 矩阵 (B) 相乘的结果为矩阵 (C) .

则定义:

[C_{a,b}=min_{i=1}^m{min(C_{a,b},A_{a,i}+B_{i,b})} ]

容易发现,这个矩乘同样具有结合律.(可以从 (min) 运算是和 (+) 运算具有同样性质的二元运算符考虑,证明与普通矩乘相同).

那么这样,我们直接应用引例 (1) 中的结论即可解决该题.

引例 (3:) 最小最大边问题

找不到题目了,国集论文没给题目来源,找不到.

最小最大边问题 (:) 给定一张有向图,求某两点间通过边数恰好为 (k) 的路径,使得最大边最小.

同样的熟悉,同样的问题.

考虑如果没有长度恰好为 (k) 的做法,那么就是把 (Floyd) 的核心代码换成 (:)

[f_{i,j}=max(f_{i,j},min(f_{i,k},f_{k,j})) ]

能否采用与上面相同的方式重定义矩乘呢?答案是肯定的.

令矩阵 (A) 和矩阵 (B) 相乘的结果为矩阵 (C).

则定义 (:)

[C_{a,b}=max_{i=1}^mmin(A_{x,i},B_{i,y}) ]

直接套用上面的结论即可.

参考文献 (:) 2008年国集论文(ACM Paper):矩阵乘法在信息学中的应用--余华程