对于一个序列建立的笛卡尔树满足：
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它是个二叉树。
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若以下标为关键字，笛卡尔树满足二叉搜索树性质（若以每个点一下都包含一段连续的区间）。
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若以权值为关键字，它是一个小根堆。
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若权值互不相同，那么这个序列的笛卡尔树唯一（当然，若权值相同，就会有很多棵树，于是就有笛卡尔树计数啦）。
它具有这么多优秀的性质，当然可以干很多事情啦。
（以上图片来自维基百科）
建立
维护一个栈维护从队列第一个元素到现在的递增子序列（存的当然是下标），接下来分类讨论：
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若新增元素大于等于栈顶，那么直接进栈并与接到此时栈顶右儿子。
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否则一直弹栈直到小于栈顶，将最后弹出的元素连到当前元素的左儿子，之后进站并连边栈顶。
sta[rt=tp=1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(a[i]>=a[sta[tp]]) ch[sta[tp]][1]=i,sta[++tp]=i;
else
{
while(a[i]<a[sta[tp]]) tp--;
if(!tp) rt=i;
ch[i][0]=sta[tp+1];
ch[sta[tp]][1]=i;
sta[++tp]=i;
}
}
笛卡尔树计数
笛卡尔树满足根节点的的权值小于等于儿子节点的权值。
那么对于给定的一个数列，这个序列中所有的最小值一定都直接连接在根节点上。
设有 (m) 个最小值，则这些节点可以组成的二叉树个数……
就是卡特兰数的第 (m) 项啦！
如上图，将最小值提取出后，可以将原序列分成若干段，分别求解最小值即可。
$ exttt{code}$
#define Maxn 1000005
#define Maxpown 21
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
inline int rd()
{
int x=0;
char ch,t=0;
while(!isdigit(ch = getchar())) t|=ch=='-';
while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
return x=t?-x:x;
}
int n;
int st[Maxn][Maxpown],pos[Maxn][Maxpown];
int pow2[Maxpown],lg[Maxn];
ll Cart[Maxn],inv[Maxn<<1],mi[Maxn<<1],invmi[Maxn<<1];
inline ll C(int x,int y) { return mi[x]*invmi[x-y]%mod*invmi[y]%mod; }
inline ll ksm(ll x,ll y)
{
ll ret=1;
while(y)
{
if(y&1) ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod,y>>=1;
}
return ret;
}
inline int query_pos(int l,int r)
{
int p=lg[r-l+1]-1;
if(st[l][p]<=st[r-pow2[p]+1][p]) return pos[l][p];
return pos[r-pow2[p]+1][p];
}
inline int query_min(int l,int r)
{
int p=lg[r-l+1]-1;
return min(st[l][p],st[r-pow2[p]+1][p]);
}
ll Find(int l,int r)
{
if(l>r) return 1;
ll ret=1;
int Last=l,fir,cnt=0,Least=query_min(l,r),Now;
while(Last<=r)
{
Now=query_min(Last,r);
if(Now>Least) { ret=ret*Find(Last,r); break; }
fir=query_pos(Last,r);
ret=ret*Find(Last,fir-1)%mod;
Last=fir+1,cnt++;
}
ret=ret*Cart[cnt]%mod;
return ret;
}
int main()
{
n=rd(),pow2[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) st[i][0]=rd(),pos[i][0]=i;
inv[0]=mi[0]=invmi[0]=inv[1]=mi[1]=invmi[1]=1;
for(ll i=2;i<=n+n;i++)
{
mi[i]=mi[i-1]*i%mod;
inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
invmi[i]=invmi[i-1]*inv[i]%mod;
}
for(int i=1;i<=n;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(ll i=1;i<=n;i++) Cart[i]=C(i+i,i)*ksm(i+1,mod-2)%mod;
for(int i=1;i<=20;i++) pow2[i]=pow2[i-1]*2;
for(int i=1;i<=20;i++)
for(int j=1;j<=n-pow2[i]+1;j++)
{
if(st[j][i-1]<=st[j+pow2[i-1]][i-1])
pos[j][i]=pos[j][i-1];
else pos[j][i]=pos[j+pow2[i-1]][i-1];
st[j][i]=min(st[j][i-1],st[j+pow2[i-1]][i-1]);
}
printf("%lld
",Find(1,n));
return 0;
}
直方图最大子矩形
这道题可以用单调栈，也可以用笛卡尔树！
一个笛卡尔树上的点 (x) 以及其子树表示大于等于 (val(x)) 的整个区间。
所以 (ans=max{val(x) imes siz(x)})。
$ exttt{code}$
#define Maxn 100005
int n,tp,rt;
ll ans;
int a[Maxn],siz[Maxn],sta[Maxn];
int ch[Maxn][2];
inline void build()
{
sta[rt=tp=1]=1,ans=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(a[i]>=a[sta[tp]]) ch[sta[tp]][1]=i,sta[++tp]=i;
else
{
while(a[i]<a[sta[tp]]) tp--;
if(!tp) rt=i;
ch[i][0]=sta[tp+1];
ch[sta[tp]][1]=i;
sta[++tp]=i;
}
}
}
void dfs(int x)
{
siz[x]=1;
for(int i=0;i<2;i++) if(ch[x][i])
dfs(ch[x][i]),siz[x]+=siz[ch[x][i]];
ans=maxll(ans,1ll*a[x]*siz[x]);
}
int main()
{
while((n=rd())!=0)
{
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rd(),ch[i][0]=ch[i][1]=0;
build(),dfs(rt);
printf("%lld
",ans);
}
return 0;
}