一，1）求极限$limlimits _{x
ightarrow 0}left( 1+sin x
ight) ^{dfrac {1}{x}}$.
2）$f(x) =ln left(x - sqrt{1+x^2}
ight) $ ，求 $f(0)^{(2k+1)}$，$ k$为自然数.
3）$f(x,y) = x^yy^x$,求$f(x,y)$的全微分.
二，计算下面积分
1）$int_{-1}^{1} {dfrac{1+x^2}{1+x^4}}dx$.
2）$iiint _{V} {dfrac{dxdydz}{(1+x+y+z)^{3}}}$，V={${x+y+zleq{1}}, x,y,zgeq0$}.
3）$oint_L{dfrac{xdy-ydx}{x^2+y^2}}$,$L$是不过原点的简单封闭曲线.
三，1）判断$sum_{n=1}^{infty}left({sqrt[n]{n}-1}
ight)^2$的敛散.
2）若$sum_1^{infty}a_nsin^nx$在[0,$2pi$]收敛，请问它是否一致收敛.
四，1）$f(x)$连续可微，$f(0)$不为$0$，其Maclaurin级数（Cauchy余项）：$f(x) = f(0)+f^{'}(0)x+dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+...+dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+dfrac{f^{(n+1)}( heta x)}{n!}left(1- heta
ight)^nx^{n+1}$,
证明:$$lim_{x
ightarrow0} heta = 1-sqrt [n]{dfrac{1}{n+1}}.$$
2）${a_n}$单调递减，$a_n
ightarrow0left(当n
ightarrow0
ight)$，证明：$$sum_{n=1}^{infty}a_n收敛leftrightarrowsum_{n=1}^{infty}nleft(a_n-a_{n+1}
ight)$$收敛。
3）$f(x,y)$在$R^2$连续，存在单射$g：R
ightarrow R^2，$使$fcirc g = C,C$为常数（记不太清楚）.
(南开2019高代倒数第二题)已知$x_1+x_2+cdots+x_n=0,x_1^2+x_2^2+cdots+x_n^2=1$,证明:
[x_1x_2+x_2x_3+cdots+x_nx_1leqcosfrac{2pi}{n}.]
extbf{提示.}利用瑞利商(Rayleigh quotient)和矩阵特征值.著名数学家樊畿(Ky Fan)教授曾经写过文章介绍这一类问题,此不等式其实是傅里叶分析中Wirtinger不等式的离散形式,参考梅加强《数学分析》或者任一本傅里叶分析.
2019北大数学分析--回忆版
1.讨论数列[a_n=sqrt[n]{1+sqrt[n]{2+cdots+sqrt[n]{(n-1)+sqrt[n]{n}}}}]的敛散性.
2.$f(x)$在$[a,b]$上连续且$f(a)=f(b)$.证明:存在数列$x_n
eq y_n,limlimits_{n
ightarrow+infty}(x_n-y_n)=0$且$f(x_n)=f(y_n),forall nin extbf{N}^{ast}$.
3.证明[sum_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^kfrac{1}{k+m+1}=sum_{k=0}^{m}(-1)^kC_m^kfrac{1}{k+n+1}.]
4.求[int^1_0sum_{n=1}^{+infty}x^ncdotln x dx.]
5.若$prodlimits_{n=1}^{+infty}(1+a_n)$收敛,则$sumlimits_{n=1}^{+infty}a_n$收敛吗.命题为真请证明,为假举反例.
6.数列${x_n}$有界,且$limlimits_{n
ightarrow+infty}(x_{n+1}-x_n)=0$,[varliminf_{n
ightarrow+infty}x_n=l,varlimsup_{n
ightarrow+infty}x_n=L.]证明$forall cin[l,L],$都有子列收敛于$c$.
7.$f(x)$定义在$[0,+infty)$若$limlimits_{x
ightarrow+infty}f(x)$存在,且$f''(x)$有界.证明$limlimits_{x
ightarrow+infty}f'(x)=0$.
8.$p>0$,讨论级数[sum_{n=1}^{+infty}frac{sinfrac{npi}{4}}{n^p+sinfrac{npi}{4}}]的绝对敛散性和条件敛散性.
9.求$f(x)=dfrac{2xsin heta}{1-2xcos heta+x^2}$在$x=0$的Taylor展开式,并求$int_{0}^{pi}ln(1-2xcos heta+x^2)d heta$.
10.证明$int_{0}^{+infty}dfrac{sin x}{x}d x=dfrac{pi}{2}$,并求$int_{0}^{+infty}dfrac{sin^2(xy)}{x^2}d x$.
2019北大高等代数——回忆版
这个是回忆的，所以可能有错误。如果有网友发现错误 ，请给我留言或直接回复，我会进行修改的，谢谢大家。
1.$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m$是$ extbf{R}^n$上线性无关的列向量组,$eta_1,eta_2,cdots,eta_t$是$ extbf{R}^s$上线性无关的列向量组.若有实数$c_{ij}$使得
[sum_{i=1}^{m}sum_{j=1}^{t}c_{ij}alpha_ieta_j^{T}= extbf{0}.]
证明系数$c_{ij}$全为0.
2.实数域上的3阶方阵$A$满足$AA^T=A^TA$,且$A
eq A^T$.
(1)证明存在正交矩阵$P$使得
[P^TAP=
egin{pmatrix}
a & 0 & 0 \
0 & b & c \
0 & -c & b \
end{pmatrix},]
其中$a,b,c$都是实数.
(2)若$AA^T=A^TA=I_3$,且$|A|=1$.证明1是$A$的一个特征值,且求属于特征值1的特征向量.
3.$A$是复数域上的一个$n$阶方阵,$A$的特征值为$lambda_1,cdots,lambda_n$.定义$M_n( extbf{C})$上的变换$T$为
[
egin{split}
T:M_n( extbf{C})&longrightarrow M_n( extbf{C})\
B&longmapsto AB-BA
end{split}
]
(1)求变换$T$的特征值;
(2)若$A$可对角化,证明$T$也可对角化.
4.$A$为$n$级实对称矩阵,令
[S={X|X^TAX=0,Xin extbf{R}^n.}]
(1)求$S$为$ extbf{R}^n$中的一个子空间的充要条件并证明;
(2)若$S$为$ extbf{R}^n$中的一个子空间,求$dim S$.
5.给定任意实数$varepsilon>0$,证明对任意的$n$阶实矩阵$A$,存在一个$n$阶对角矩阵$D$,每个对角元为$varepsilon$或$-varepsilon$中的一个,使得
[|A+D|
eq0.]
6.给了空间中两条异面直线的方程(不记得了),求两条直线的距离和公垂线.
7.在空间中有三条直线两两异面,且不平行于同一个平面,证明空间中与这三条直线都共面的直线集是一个单叶双曲面.
8.证明平面与双曲抛物面的交线不可能是一个椭圆.