egin{Example}
设$Sigma$为上半椭球面$frac { x ^ { 2 } } { 2 } + frac { y ^ { 2 } } { 2 } + z ^ { 2 } = 1\, ( z geq 0 )$, $pi$为$Sigma$在点$P(x,y,z)$处的切平面, $
ho(x,y,z)$为原点$O(0,0,0)$到平面$pi$的距离,求$iint _ { Sigma } frac { z } {
ho ( x , y , z ) } d S$.
end{Example}
egin{Solution}
因为椭球面$frac { x ^ { 2 } } { 2 } + frac { y ^ { 2 } } { 2 } + z ^ { 2 } = 1$在$P(x,y,z)$点的法向量为$oldsymbol{n}=(x,y,2z)$,所以切平面$pi$的方程为
[xX+yY+2zZ=2,]
从而原点到$pi$的距离为
[
ho ( x , y , z ) = frac { 2 } { sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } } }.]
令$left{ egin{array} { l } { x = sqrt { 2 } sin varphi cos heta }, \ { y = sqrt { 2 } sin varphi sin heta }, \ { z = cos varphi }, end{array}
ight.$则$sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } } = sqrt { 2 sin ^ { 2 } varphi + 4 cos ^ { 2 } varphi }$,由
egin{align*}
x' _ { varphi } &= sqrt { 2 } cos varphi cos heta , y' _ { varphi } = sqrt { 2 } cos varphi sin heta , z' _ { varphi } = - sin varphi \
x' _ { heta } & = - sqrt { 2 } sin varphi sin heta , y' _ { heta } = sqrt { 2 } sin varphi cos heta , z' _ { heta } = 0,end{align*}
得到
[sqrt { E G - F ^ { 2 } } = sin varphi sqrt { 2 sin ^ { 2 } varphi + 4 cos ^ { 2 } varphi },]
由此得到
[iint frac { z } {
ho ( x , y , z ) } d S = int _ { 0 } ^ { 2 pi } d heta int _ { 0 } ^ { frac { pi } { 2 } } cos varphi sin varphi left( sin ^ { 2 } varphi + 2 cos ^ { 2 } varphi
ight) d varphi = frac { 3 } { 2 } pi.]
end{Solution}
extbf{注.}本题也可由$Sigma:z=frac { 1 } { sqrt { 2 } } sqrt { 2 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }$投影到$xy$平面上来计算得到
[iint _ { Sigma } frac { z } {
ho ( x , y , z ) } d S = frac { 1 } { 4 } iint _ { D _ { x y } } left( 4 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 }
ight) d x d y = frac { 3 } { 2 } pi.]
egin{Example}
设$Sigma$是单位球面$x^2+y^2+z^2=1$.证明
[iint _ {Sigma} f ( a x + b y + c z ) d S = 2 pi int _ { - 1 } ^ { 1 } f left( u sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } }
ight) d u,]
其中$a,b,c$为不全为零的常数, $f(u)$是$| u | leqsqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } }$上的一元连续函数.
end{Example}
egin{Proof}
将$xyz$坐标系保持原点不动旋转成$x'y'z'$坐标系,使$z'$轴上的单位向量为$frac { 1 } { sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } ( a , b , c )$,由于旋转变换是正交变换,保持度量不变,所以球面$Sigma$上的面积元$dS$也不变.设球面$Sigma$上一点$(x,y,z)$的新坐标为$(x',y',z')$,则$ax+by+cz=sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } }z'$,于是
[iint _ {Sigma} f ( a x + b y + c z ) mathrm { d } S = iint _ { Sigma } f left( sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } z ^ { prime }
ight) d S.]
下面计算这一曲面积分.令球面$Sigma$的参数方程为
[x' = sin varphi cos heta ,quad y' = sin varphi sin heta ,quad z' = cos varphi,]
则
[sqrt { E G - F ^ { 2 } } = sin varphi,]
所以
egin{align*} iint_{Sigma} f ( a x + b y + c z ) d S & = int _ { 0 } ^ { 2 pi } d heta int _ { 0 } ^ { x } f left( sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } cos varphi
ight) sin varphi d varphi \ & = 2 pi int _ { - 1 } ^ { 1 } f left( u sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } }
ight) d u. end{align*}
end{Proof}