竞赛与自招公众号：今天上午，进行了清华大学的自主招生笔试。考试时间是90分钟，采用的是机考的形式，总共35个不定项选择题。在考试结束后，我们根据考生的回忆，将此次的部分试题整理出来，并推送给大家。后期若有增加，会陆续推送。由于考生的回忆可能会有一些错误，还请大家帮忙指正，谢谢。
1.一个四面体棱长分别为$6,6,6,6,6,9$,求外接球的半径.
2.求值: $int_{-1}^1left(1-sin^2x ight)x^2dx$.
3.已知$P$为单位圆上一动点, $A(0,2),B(0,-1)$,求$|AP|cdot |BP|^2$的最大值.
4. $AB$为圆$O$直径, $COperp AB$, $M$为$AC$中点, $CHperp MB$,则下列选项正确的是
A. $AM=2OH$ B. $AH=2OH$ C. $ riangle BOHsim riangle BMA$ D.忘了
5. $A={1,2,3,cdots,15},B={1,2,3,4,5}$, $f$是$A$到$B$的映射,若满足$f(x)=f(y)$,则称有序数对$(x,y)$为“好对”,求“好对”的个数最小值.
6.若对任意$cinmathbb{R}$,存在$a,b$,使得$frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c)$成立,则称函数$f(x)$满足性质$T$,下列函数不满足性质$T$的是
A. $f(x)=x^3-3x^2+3x$ B. $f(x)=frac{1}{x^2+1}$ C. $f(x)=e^{x+1}$ D. $f(x)=sin (2x+1)$
7.已知$|vec{a}|=|vec{b}|=1, vec{a} cdot vec{b}=frac{1}{2},(vec{c}-vec{a}) cdot(vec{c}-vec{b})=0$,若$|vec{d}-vec{c}|=1$,求$|vec{d}|$的最大值.
8.椭圆$frac{x^2}6+frac{y^2}2=1$,过$F(2,0)$的直线交椭圆于$A,B$两点,点$C$在直线$x=3$上,若$ riangle ABC$为正三角形,求$ riangle ABC$的面积.
9.圆$x^2+y^2=4$上一点$(x_0,y_0)$处的切线交抛物线$y^2=8x$于$A,B$两点,且满足$angle AOB=90^circ$,其中$O$为坐标原点,求$x_0$.
10. $a=4444^{4444}$, $b$是$a$的各位数字之和, $c$为$b$的各位数字之和,求$c$的值.
11.实数$x,y$满足$x^2+(y-2)^2leq 1$,求$frac{x+sqrt{3} y}{sqrt{x^{2}+y^{2}}}$的最大值和最小值.
[sum_{k=1}^{n} k^{2} 2^{k}=left(n^{2}-2 n+3 ight) 2^{n+1}-6.]
设$a_{1}, a_{2}, cdots, a_{6} inleft[frac{1}{sqrt{3}}, sqrt{3} ight]$,求证: $sum_{i=1}^{6} frac{a_{i}-a_{i+1}}{a_{i+1}+a_{i+2}} geq 0$.
清华飞测（6.1）
1.给定$odot O$及内部两点$A,B$,求满足$P$在$odot O$上,且$OP$平分$angle APB$的$P$点个数最大值.（此处约定若$O$在射线$AB$上, $P$在$AB$上,也称$OP$平分$angle APB$）
2.设$x_i\,(1leq ileq n)$是$(0,1)$之间两两不同的数,记$[x]$为不超过$x$的最大整数, ${x}=x-[x]$.求[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n{x_i-x_j}^k(kinmathbb{N}^ast)]的最小可能值.
3.设$f(x,y,z)=sum_{i,j,k}c_{ijk}x^iy^jz^k$,设$d=max{i+j+k}$.给定有限集合$A$,定义集合[S={(x,y,z)|f(x,y,z)=0,x,y,zin A}.]求证$Sleq dcdot |A|^2$.
4.设$A_1,A_2,cdots,A_n$是有限集$X$的$n$个子集（非空）.设$b_k$是集合[{x|xin X,xin A_{i_1}cap A_{i_2}capcdots cap A_{i_k},1leq i_1<i_2<cdots<i_kleq n}]的元素个数.求证:[prod_{i=1}^nb_ileqprod_{i=1}^n |A_i|.]
设N=4444^4444的各位数字之和为A,A的各位数字之和为B,B的各位数字之和为C,求C。
lgN=4444lg4444<4444*4=17776， 所以 A<17776*9=159984， B<1+9*5=46， C<4+9=13， N、A、B、C 被9除的余数相等， 且 N≡(4446-2)^4444≡2^4444 ≡8^4443*2≡-2≡7(mod 9)， 所以 C=7 。 追答 倒数第二行错了，应是 8^1481*2≡-2≡7
浙大自主招生试题
1.已知$alpha=frac{pi}{7}$,求$cos alpha-cos 2 alpha+cos 3 alpha$.
2.已知$S={1,2,3,4}$,若$left|a_{1}-a_{3} ight|+left|a_{2}-a_{4} ight|$的平均数为最简分数$frac{q}{p}$,其中$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} in S$,则$p+q$的值为
3.动圆过定点$(a,0)$,且圆心到$y$轴的距离为$2a$,则圆心轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.无法确定
4.已知$a_{0}=1, a_{1}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$,则$sum_{i=0}^{+infty}frac{1}{a_ia_{i+2}}=$______
5.一枚质地均匀的硬币,扔硬币$10$次,正面朝上次数多的概率为________
6.一枚质地均匀的硬币,甲扔硬币$2019$次,乙扔硬币$2018$次,则甲正面朝上次数比乙正面朝上的次数多的概率为________
7.已知$x^2+y^2+z^2=1$,求$sqrt{3}xy+yz$的最小值.
8.已知$P(n)$为关于$n$的整系数多项式,若$P(0)$和$P(1)$均为奇数,则( )
A. $P(n)$无整数根 B. $P(n)$可能有负整数根 C. $P(n)$无解 D.忘了
9. $3.overline{abc}$是所有三位小数中最接近$sqrt{11}$的数,求$a+b+c$的值.
10.已知$ninmathbb{N}^ast$,下列说法正确的是( )
A. 若$n eq 3k,kinmathbb{N}$,则$7mid 2^n-1$ B. 若$n= 3k,kinmathbb{N}$,则$7mid 2^n-1$
C. 若$n eq 3k,kinmathbb{N}$,则$7mid 2^n+1$ D. 若$n= 3k,kinmathbb{N}$,则$7mid 2^n+1$
11.复数$|z_{1}|=| z_{2}|=1\,left(z_{1} eq z_{2} ight)$,满足$left|z_{k}+1+i ight|+left|z_{k}-1-i ight|=2 sqrt{3}\,(k=1,2)$,求$z_1z_2$.
12.若$x>1$,且满足$x^2+frac{1}{x^2}=3$,求$x^5-frac{1}{x^5}$.
12.已知点$(a,b)$在椭圆$frac{x^{2}}{4}+frac{y^{2}}{3}=1$上,求$2a+3b+4$的最大值和最小值之和.
13.若将$19$表示为若干个正整数的和,则这些正整数的积的最大值为______
14.数列${a_n}$满足$a_1=1,S_{n+1}=4a_n+3$,求$a_{2019}-2a_{2018}$的值.
15.定义在$mathbb{R}$上的偶函数$f(x)$满足$f(x+1)=frac{1}{2}+sqrt{f(x)-f^{2}(x)}$,求$fleft(frac{121}{2} ight)$.
16.若$p,q$是方程$x^2+6x+5a-a^2=0$的两根,且满足$q+8p=p^3$,则$a$的可能取值有多少个?
17. $ riangle ABC$的顶点为$A(-p,0),B(p,0)$,其内心在直线$x=q$上,且$p>q>0$,则顶点$C$的轨迹方程为_____