Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,arctan)

1.1Bearbeiten

{displaystyle int _{0}^{infty }{frac {arctan left({frac {x}{z}} ight)}{e^{2pi x}-1}}\,dx={frac {1}{2}}log left({frac {z!\,e^{z}}{z^{z}\,{sqrt {2pi z}}}} ight)qquad { ext{Re}}(z)>0}

Beweis (Zweite Binetsche Formel)

Ersetze {displaystyle arctan left({frac {x}{z}} ight)} durch {displaystyle int _{0}^{infty }sin(tx)\,{frac {e^{-zt}}{t}}\,dt} und vertausche die Integrationsreihenfolge.

Man erhält {displaystyle int _{0}^{infty }int _{0}^{infty }{frac {sin(tx)}{e^{2pi x}-1}}\,dx\,\,{frac {e^{-zt}}{t}}\,dt}.

Nach der Formel {displaystyle int _{0}^{infty }{frac {sin(alpha x)}{e^{eta x}-1}}\,dx={frac {pi }{2eta }}\,coth left({frac {alpha pi }{eta }} ight)-{frac {1}{2alpha }}}

ist nun {displaystyle int _{0}^{infty }{frac {sin(tx)}{e^{2pi x}-1}}\,dx={frac {1}{4}}coth left({frac {t}{2}} ight)-{frac {1}{2t}}}.

Letzter Ausdruck lässt sich auch schreiben als {displaystyle {frac {1}{2}}left({frac {1}{2}}-{frac {1}{t}}+{frac {1}{e^{t}-1}} ight)}.

Damit ist die zweite Binetsche Formel auf die erste zurückgeführt.