51Nod1192 Gcd表中的质数

题目看这里
又到了推式子的时候了，莫比乌斯反演入门题

∑i=1n∑j=1m[prime(i,j)]$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[prime(i,j)]$$

首先搞一个f(d)$f(d)$表示有多少对(i,j)的gcd就是d
那么原式=∑nd=1[prime(d)]∗f(d)$=\sum _{d=1}^n[prime(d)]\ast f(d)$
设F(x)=∑x|df(d)=[nx][mx]$F(x)=\sum _{x|d}f(d)=[\frac{n}{x}][\frac{m}{x}]$
就得到原式=∑nd=1[prime(d)]∗∑iF(i∗d)∗μ(i)$=\sum _{d=1}^n[prime(d)]\ast \sum _{i}F(i\ast d)\ast \mu (i)$
=∑i∗d<=nF(i∗d)∗μ(i)∗[prime(d)]$=\sum _{i\ast d<=n}F(i\ast d)\ast \mu (i)\ast [prime(d)]$
=∑T<=nF(T)∗∑prime(d)=1,d|Tμ(Td)$=\sum _{T<=n}F(T)\ast \sum _{prime(d)=1,d|T}\mu (\frac{T}{d})$
预处理后面那个g(T)=∑prime(d)=1,d|Tμ(Td)$g(T)=\sum _{prime(d)=1,d|T}\mu (\frac{T}{d})$就可以分块求答案了

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 5000010
#define LL long long
using namespace std;
bool vis[N];
int mu[N],s[N],w[N>>2],t,n,m,T;
inline LL F(int d){
    return (LL)(n/d)*(m/d);
}
inline void cal(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m); LL S=0;
    for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        S+=F(i)*(s[j]-s[i-1]);
    }
    printf("%lld
",S);
}
int main(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=5000000;++i){
        if(!vis[i]) mu[w[++t]=i]=-1;
        for(int j=1,k;j<=t && (k=i*w[j])<=5000000;++j){
            vis[k]=1;
            if(i%w[j]==0) { mu[k]=0; break; } else mu[k]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=t;++i)
        for(int j=w[i],k=1;j<=5000000;++k,j+=w[i]) s[j]+=mu[k];
    for(int i=1;i<=5000000;++i) s[i]+=s[i-1];
    for(scanf("%d",&T);T--;cal());
}