题目描述 Description###
(φ) 函数是数论中非常常用的函数。对于正整数 (x) ，(φ(x)) 表示不超过 (x) 的所有正整数与 (x) 互质的个数。
现在我们对它进行一次拓展：对于正整数 (x) ,(y) ，定义 (φ(x,y)) 表示不超过 (y) 的所有正整数与 (x) 互质的个数。
现在我们给定正整数 (n) 和 (m) ，对于所有不超过 (n) 的正整数 (i) ，求 (φ(i,m)) 。
输入描述 Input Description###
输入仅一行两个正整数 (n) 和 (m) 。
输出描述 Output Description###
输出 (n) 行，每行一个整数。第 (i) 行表示 (φ(i,m)) 。
样例输入 Sample Input###
11 10
样例输出 Sample Output###
10
5
7
5
8
3
9
5
7
4
10
数据范围及提示 Data Size & Hint###
(n leq 10^5,m leq 10^{15})
之前的一些废话###
题解###
正难则反，我们考虑(m) 以内能被(n) 整除的所有数，含有所有(n) 的因子的很显然是可以的，然后我们就可以通过容斥原理来加加减减来求得这个值，找找规律可以发现，含有平方因子的数不会参与其中的讨论，含有奇数个质因子的数应该是加，含有偶数个质因子的数应该是减，所以我们来一个素数筛来预处理每一个数的符号，然后$sqrt{i} $ 的时间枚举每一个i的因数，然后进行计算。复杂度$ O(预处理+nsqrt{n} )$
代码###
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define X first
#define Y second
#define mp make_pair
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
inline LL read()
{
LL x=0,f=1;char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn=100000;
int n,prime[maxn],end,sign[maxn+20];
LL m,sum;
bool vis[maxn+20];
void init()
{
for(int i=2;i<=maxn;i++)
if(!vis[i])
{
prime[++end]=i;
for(LL j=(LL)i*(LL)i;j<=(LL)maxn;j+=i)vis[j]=1;
}
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
if(!vis[i])sign[i]=1;
if(!sign[i])continue;
for(int j=1;j<=end && (LL)i*(LL)prime[j]<=maxn;j++)
{
if(i%prime[j]==0)sign[i*prime[j]]=0;
else sign[i*prime[j]]=-sign[i];
}
}
}
int main()
{
init();
n=(int)read();m=read();
printf("%lld
",m);
for(int i=2;i<=n;i++)
{
int s=(int)sqrt(i);
sum=0ll;
for(int j=1;j<=s;j++)
if(i%j==0)
{
if(j!=1)sum+=(m/j)*sign[j];
if(j*j!=i)sum+=(m/(i/j))*sign[i/j];
}
printf("%lld
",m-sum);
}
return 0;
}
总结###
找找规律画画图这种题还是比较简单的。
事后发现这玩意居然是莫比乌斯函数，我居然自己推出了这么高深的东西！