洛谷1251 餐巾计划问题（网络流24题）

题目描述

一个餐厅在相继的 NN 天里,每天需用的餐巾数不尽相同。假设第 ii 天需要 r_iri​块餐巾( i=1,2,...,N)。餐厅可以购买新的餐巾,每块餐巾的费用为p分;或者把旧餐巾送到快洗部,洗一块需 m 天,其费用为 f 分;或者送到慢洗部,洗一块需 n天(n>m),其费用为 s分(s<f)。

每天结束时,餐厅必须决定将多少块脏的餐巾送到快洗部,多少块餐巾送到慢洗部,以及多少块保存起来延期送洗。但是每天洗好的餐巾和购买的新餐巾数之和,要满足当天的需求量。

试设计一个算法为餐厅合理地安排好 NN 天中餐巾使用计划,使总的花费最小。编程找出一个最佳餐巾使用计划。

输入格式

由标准输入提供输入数据。文件第 1 行有 1 个正整数 N，代表要安排餐巾使用计划的天数。

接下来的 N行是餐厅在相继的N天里,每天需用的餐巾数。

最后一行包含5个正整数p,m,f,n,s，p是每块新餐巾的费用; m 是快洗部洗一块餐巾需用天数; f 是快洗部洗一块餐巾需要的费用; n是慢洗部洗一块餐巾需用天数; s是慢洗部洗一块餐巾需要的费用。

输出格式

将餐厅在相继的 N 天里使用餐巾的最小总花费输出

题目分析：

　　很明显是一道最小费用最大流的题目，问题在于如何建边。对于每天使用的餐巾，很明显需要拆点，分为入出两个点。所以我第一次建边时，每天从源点都建一条流量inf，费用为p的边到该天的入口，入口建一条费用为0，流量为r[i]。这部分是图代表买新纸巾所用花费。后面对于纸巾的回收清洗的建图才是最难的。

　　首先，毋庸置疑的是从源点到每天的出点建一条r[i]，费用为0的边，表示用过的纸巾数量。

　　第一次建图是，我只从出点建了边到i+m和i+n天，后面发现其实不止这两天可以用第i天的纸巾。例如，第一天纸巾需求特别大，洗的又特别快，后面所有天都可以用这天的纸巾，于是，从第i+m,i+n天分别建边到最后一天，表示该天纸巾清洗完之后所有天都可以用，但是如果n和m较小，相当于建了解决$n^{2}$条边，所以就超时了。

　　最后看了题解，才明白其实第i天的纸巾虽然可以清洗后在第i+m+b天使用，但可以看做是第i+b天清洗的，所以只需要将每天的出点向下一天出点建一条费用为0，流量为inf（这里不是r[i]因为可能包含前面若干天的纸巾）的边即可，表示这天用的纸巾囤积到后一天去洗，每天都有囤积，可以无限囤积下去。然后第i天往i+m和i+n天分别建流量为inf（注意，这里是inf不是r[i]，因为这里前几天的纸巾可能囤积到这里，数量较大），费用为f,s的边即可。

下面贴上代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair <ll,ll> pii;
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<y;i++)
#define rept(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define per(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define de(x) cout<< #x<<" = "<<x<<endl
#define dd(x) cout<< #x<<" = "<<x<<" "
#define mes(a,b) memset(a,b,sizeof a)
const ll inf= 0x3f3f3f3f;
const ll maxm=5e5,maxn=5005;
ll n,s,t,x,y,vol,cost,edgecount ; 

pii ans ;
struct Edge{
    ll to,vol,cost,next ; 
}edge[2*maxm] ;

ll head[maxn],pre[maxn],path[maxn],dis[maxn] ; 
void insert(ll u,ll v,ll vol,ll cost) 
{
/*    
    dd(u);
    dd(v);
    dd(vol);
    de(cost);
*/    
    edge[edgecount].to = v ; 
    edge[edgecount].vol = vol ; 
    edge[edgecount].cost = cost ;
    edge[edgecount].next = head[u] ; 
    head[u] = edgecount++ ; 
    
    edge[edgecount].to = u ;  
    edge[edgecount].vol = 0 ;
    edge[edgecount].cost = -cost ;
    edge[edgecount].next = head[v] ;   
    head[v] = edgecount++ ;
}
bool spfa( ll s,ll t )  
{
    for(int i=0;i<=n;i++) pre[ i ] = -1 ; 
    for(int i=0;i<=n;i++) dis[ i ] = 1e9 ; 
    dis[ s ] = 0 ; 
    queue<ll> Q ; 
    Q.push(s) ; 
    while(!Q.empty()) 
    {
        ll u = Q.front() ; 
        Q.pop() ; 
        
        for(ll e = head[u];e != -1 ;e = edge[e].next ) 
        {
            ll v = edge[e].to ; 
            if(edge[e].vol>0&&dis[u] + edge[e].cost < dis[v]) 
            {
                dis[v] = dis[u] + edge[e].cost ; 
                pre[v] = u ; 
                path[v] = e ; 
                Q.push(v) ; 
            }
        }
    }
     if(pre[t]==-1) 
         return false ; 
     return true ; 
}

pii mincostflow(ll s,ll t) 
{
    ll cost = 0,flow = 0 ; 
    while(spfa(s,t)) 
    {
        ll f = inf ; 
        for(ll u = t; u != s; u = pre[u] ) 
            if(edge[path[u]].vol < f ) 
                f = edge[path[u]].vol ;
        flow+=f ; 
        cost+= dis[t] * f ; 
        for(ll u=t;u!=s;u=pre[u] ) 
        {
            edge[path[u]].vol-=f ; 
            edge[path[u]^1].vol+=f ;  
        }
    }
    pii ans ; 
    ans.first = flow ;   ans.second = cost ; 
    return ans ; 
}
ll arrcy[2005];

ll haxi(ll day,ll x)
{
    return n*x+day;
}

int main() 
{

    ios::sync_with_stdio(false);

    cin.tie(0);
    mes(head,-1);
    ll p,d1,c1,d2,c2;
    cin>>n;
    rept(i,1,n) cin>>arrcy[i];
    cin>>p>>d1>>c1>>d2>>c2;
    s=0;
    t=2*n+1;
    rept(i,1,n)
    {
        insert(s,haxi(i,0),inf,p);

        insert(haxi(i,0),t,arrcy[i],0);

        insert(s,haxi(i,1),arrcy[i],0);

        if(i+d1<=n)
            insert(haxi(i,1),haxi(i+d1,0),inf,c1);

        if(i+d2<=n)
            insert(haxi(i,1),haxi(i+d2,0),inf,c2);

        if(i+1<=n)
            insert(haxi(i,1),haxi(i+1,1),inf,0);

    }
    n=2*n+2;
    ans=mincostflow(s,t);
    cout<<ans.se<<"
";
    return 0 ; 
}