获取不存在于某集合的大小至少为某整数的最小整数

题：获取大小至少为startNo，并且不存在于某个不确定是否有序的整数数组Array中的，最小整数。

如：不存在于2，6，8，11中的不小于3的最小整数为3。

如下测试代码，未发现实现不对。。。如果左边找到的漏值小于startNo需要右边找，少了判断

    public static final String timeDifferenceFormats[] = { "天", "小时", "分钟", "秒" };
    public static final String timeDifferenceFormat = "+[d天][k小时][m分钟][s秒]";

    public static StringBuilder formatTimeDifference(String fmts[], long differenceInMillis) {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        long seconds = differenceInMillis / 1000;
        if (differenceInMillis > 60 * 1000) {
            long minutes = differenceInMillis / (60 * 1000);
            if (differenceInMillis > 60 * 60 * 1000) {
                long hours = differenceInMillis / (60 * 60 * 1000);
                if (differenceInMillis > 24 * 60 * 60 * 1000) {
                    long days = differenceInMillis / (24 * 60 * 60 * 1000);
                    sb.append(days).append("天");
                }
                sb.append(hours % 24).append("小时");
            }
            sb.append(minutes % 60).append("分钟");
        }
        return sb.append(seconds % 60).append("秒");
    }

    public static void main(String[] args) {
        long now = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(now);
        String[] fmts = { "天", "小时", "分钟", "秒" };
        System.out.println(formatTimeDifference(fmts, 62000));
        java.util.Calendar calendar = java.util.Calendar.getInstance();
        calendar.setTimeInMillis(now);
        System.out.println(calendar.get(java.util.Calendar.DAY_OF_YEAR));
        System.out.println(new java.text.SimpleDateFormat("D天k小时m分钟s秒").format(new java.util.Date(now)));
        DecimalFormat df = new DecimalFormat(",###");
        System.out.println(df.format(now));

        int[] data1 = { 8899, 9, 2, 11, 1, 100 }; // 1, 2, 9, 11, 100, 8899
        int[] data2 = { 1, 3, 4, 9, 6, 2 }; // 1, 2, 3, 4, 6, 9
        int[] data3 = { 3 }; // 3
        int[] data4 = { 3, 6 }; // 3, 6
        System.out.println("1. min cave number = " + findMinCaveNumber(2, data1, false)); //3
        System.out.println("2. min cave number = " + findMinCaveNumber(2, data2, false)); //5
        System.out.println("3. min cave number = " + findMinCaveNumber(2, data3, false)); //2
        System.out.println("4. min cave number = " + findMinCaveNumber(5, data4, true)); //5
    }

    /**
     * data[leftIndex] <= start < data[rightIndex]
     * 
     * @param start
     *            起始基值
     * @param data
     * @param leftIndex
     * @param rightIndex
     * @return data[leftIndex] + 1 or start 
     */
    private static int findMinCaveNumberBetween(int startNo, int[] data, int leftIndex, int rightIndex) {
        //前后两个数时
        if (rightIndex - leftIndex <= 1) {
            int expectedCaveNumber = data[leftIndex] + 1;
            return expectedCaveNumber < startNo ? startNo : expectedCaveNumber;
        }
        int midIndex = (leftIndex + rightIndex) / 2;
        if (startNo < data[midIndex] && data[midIndex] - data[leftIndex] > midIndex - leftIndex) {
            return findMinCaveNumberBetween(startNo, data, leftIndex, midIndex);
        }
        return findMinCaveNumberBetween(startNo, data, midIndex, rightIndex);
    }

    /**
     * 
     * @param data
     * @param start
     *            起始基值
     * @param isOrderly
     *            data是有序吗
     * @return
     */
    private static int findMinCaveNumber(int start, int[] data, boolean isOrderly) {
        if (data.length == 0) {
            return start;
        }
        if (!isOrderly) {
            Arrays.sort(data);
        }
        int min = data[0], max = data[data.length - 1];
        if (start < min || start > max) {
            return start;
        } else if (start == max || max - min == data.length -1){
            return max + 1;
        }
        else {
            //min <= start < max && max - min >= data.length (data.length must >= 2)
            return findMinCaveNumberBetween(start, data, 0, data.length -1);
        }
    }

1405643181082
1分钟2秒
199
199天8小时26分钟21秒
1,405,643,181,082
1. min cave number = 3
2. min cave number = 5
3. min cave number = 4
4. min cave number = 5

顺便记录网上一个，漏一个整数的连续集合问题：

找出所缺的整数

题目：数组A中包含n-1个[0,n-1]内的不同整数，n个数中只有一个数不在所给的数组中。设计一个找到这个数的O(n)时间的算法。除了数组A自身以外，只能利用O(1)的额外空间。

与之相似的另一个题目见《算法导论》思考题4-2：问题同上，但在这里，不能由一个单一操作来访问A中的一个完整整数，因为A中整数是以二进制表示的。我们所能用的唯一操作就是“取A[i]的第j位”，这个操作所花时间为常数。题目要求：证明如果仅用此操作，仍能在O(n)时间内找出所缺整数。

第一个题目可以想出以下几种方法：

解法一：[0,n-1]这个区间中所有整数的和不变，为n*(n-1)/2，对数组A中的所有元素求和，设为s，则丢失的整数就是n*(n-1)/2 – s。

解法二：异或运算。异或是个非常神奇的运算。设所缺的整数为k，[0,n-1]区间中所有n个数的异或结果为s(n)，异或运算满足交换率和结合率，所以s(n)可以被看作[0,n-1]中去掉k外的另外n-1个数的异或结果s(n-1)和k的异或。也即：s(n)=s(n-1)^k，我们给等式两边同时异或s(n-1)，等式变成了：s(n-1)^s(n)=s(n-1)^s(n-1)^k=k。而且，很明显s(n-1)其实就是数组A中所有元素的异或。所以，解法二就是：求出[0,n-1]内所有整数的异或结果s，再求出数组A中所有元素的异或结果t，所缺的整数就是s异或t。

解法三：因为A自身也有n-1个位置。可以把A作为一个散列表，这样做虽然能够得到结果，但是破坏了数组A。

至于《算法导论》思考题4-2的解法，在《算法艺术与信息学竞赛》上有解答。思路简述：自然数顺序的二进制表示最低位总是0和1交替出现，所以，首先读取数组A中所有元素的最低二进制位，如果得到的0和1的个数一样多，则说明所缺整数的最低二进制位为0，否则，哪个少，所缺整数的最低二进制位就是哪个。比如，我们得到所缺整数的最低二进制位为0，那么，说明数组A中最低二进制位为1的那些整数已经与此题无干，只需要在那些最低位为0的整数中找所缺整数。所以，时间复杂度是：T(n)=T(n/2)+n，计算：

对n的上取整或下取整不影响时间复杂度。即T(n)=O(n)。