蓝桥杯 方格填数(全排列+图形补齐)

方格填数

如下的10个格子

填入0~9的数字，同一数字不能重复填。要求：连续的两个数字不能相邻。
（左右、上下、对角都算相邻）

一共有多少种可能的填数方案？

请填写表示方案数目的整数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。

解题思路：由题可知，题中的序列是固定的，只有0-9这10个元素，所以可以枚举其全部全排列，对每个排列根据条件进行筛选。

先看一个错误答案：520　　　

(图一)

一开始想当然的把0-9存入了一维数组中，如图一，然后发现下标i的上下两个相邻位置的坐标为i-4,i+4, 左右为i-1,i+1,

左上右下为i-5,i+5，右上左下为i-3,i+3。于是有了下面的错误代码。

错误代码：      （此错误代码运行结果为520）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

vector<int>v;
int a[8] = { -1,1,-3,3,-4,4,-5,5 };　　　　　//一维数组相邻点的下标

bool judge()
{
    for (int i = 0; i <= 9; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < 8; ++j)
        {
            int k = i + a[j];
            if (k >= 0 && k <= 9)
            {
                if (abs(v[k] - v[i]) == 1)  //相邻元素之差的绝对值为1
                    return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i <= 9; ++i)
        v.push_back(i);

    do
    {
        if (judge() == true)
            cnt++;

    } while (next_permutation(v.begin(), v.end()));

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

错因： 忽略了边界上的坐标，比如7，一直认为左上就是i-5， 但是7-5=2， 但是7并没有左上方的点。

改进： 由于边界上的坐标比较难处理，所以为了消除边界的影响，将地图补全为如下规则图形，如图二，这样就消除了图二中红色区域边界上的影响：

（图二）

用大小为30的一维数组v保存。 

用一维数组vec保存0-9，对vec进行枚举全排列，然后将vec[0...9]分别赋值给图二中的红色区域，再将非红色的区域赋值为-10，

对于图二中的红色区域，发现下标i的上下两个相邻位置的坐标为i-6,i+6, 左右为i-1,i+1,左上右下为i-7,i+7，右上左下为i-5,i+5。

此时再用根据下标获取其相邻元素的值，判断填入的数字是否相邻即可。

改进后的正确代码：

#include <iostream>  
#include <vector>  
#include <algorithm>  

using namespace std;

vector<int> v;    //补全的图形
vector<int> vec;  //未补全的图形
int a[8] = { -1,1,-5,5,-6,6,-7,7 };    //一维数组相邻点的下标

bool judge(vector<int> v)
{
    for (int i = 8; i <= 21; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < 8; ++j)    //对其所有相邻位置进行枚举
        {
            int k = i + a[j];
            if (abs(v[k] - v[i]) == 1)  //相邻元素之差的绝对值为1
                return false;
            
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    int cnt = 0;    //方案数
    for (int i = 0; i <= 9; ++i)
        vec.push_back(i);    //一开始必须升序，是为了保证next_permutation能枚举所有情况的排列

    for (int i = 0; i <= 29; ++i)
        v.push_back(-10);

    do
    {
        v[8] = vec[0]; v[9] = vec[1]; v[10] = vec[2]; v[13] = vec[3]; v[14] = vec[4];
        v[15] = vec[5]; v[16] = vec[6]; v[19] = vec[7]; v[20] = vec[8]; v[21] = vec[9];

        if (judge(v) == true)
            cnt++;

    } while (next_permutation(vec.begin(), vec.end()));
    
    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

正确结果：1580