欧几里得&扩展算法&扩展欧几里得

欧几里得算法

欧几里得算法又称为辗转相除法  用来计算gcd(a , b)

int gcd(int a , int b)
{
   return a%b==0?b:gcd(b , a%b);
}

时间复杂度：O(log(b))

证明如下：

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

扩展算法

算法描述：对于完全不为0的非负整数a , b。gcd(a , b)表示a , b的最大公约数，必然存在整数x , y，使得gcd(a , b) = a*x+b*y。

证明如下：

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，a>b>0 时

设 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

说明： a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

算法实现：

int kuo_zhan(int a , int b , int &x , int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int q = gcd(b , a%b , y , x);
    y -= a/b*x;
    return q;
}

部分变换：

变换之后实现如下：

int kuoz_zhan_2(int a , int b , int &x , int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int q = gcd(b , a%b , x , y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp-a/b*y;
    return q;
}

证明如下：

把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

可以这样思考:

对于a'=b,b'=a%b 而言，我们求得 x, y使得 a'x+b'y=Gcd(a',b')

由于b'=a%b=a-a/b*b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

那么可以得到:

a'x+b'y=Gcd(a',b') ===>

bx+(a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>

ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)

一般解：

上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：

p = p0 + b/Gcd(a, b) * t

q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

扩展欧几里得

算法描述：扩展欧几里得可以解决不定方程求解问题，如a*x+b*y=c,其中c=gcd(a , b)时为扩展问题，c不为gcd(a , b)时，需要满足c%gcd(a , b)=0才会有解，否则无解

证明略。

至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可，但是所得解并不是该方程的所有解，找其所有解的方法如下：

在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，可以

得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，p * a+q * b = c的其他整数解满足：

p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。