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  • 透过现象看本质

          今天,我在博客园看到一篇文章,其中的问题我稍微改动一下:有两个医生,甲医生,男性手术失败率18.75%,女性手术,失败率3.9%;乙医生,男性手术失败率20%,女性手术失败率3.92%。问甲乙两个医生谁更优秀一些?

          当时,我是这样想的:甲医生手术失败率=(18.75%+3.9%)/2,约等于11.33%;乙医生手术失败率=(20%+3.92%)/2,约等于11.96%;由于11.33%比11.96%小,所以甲医生更优秀一些。还有的人甚至不用计算,无论男性手术还是女性手术,甲医生的失败率都比乙医生的小,整体上甲医生的失败率还是比乙医生的小,所以甲医生相对乙医生更优秀一些。

         看到这个题目,99%的人都会认为甲医生比乙医生更优秀一些;剩余的1%乙医生可能更优秀一些。

         先不讨论谁对谁错,我们再看一道题:有两个医生,甲医生,男性手术16次,失败3次,女性手术1000次,失败39次;乙医生,男性手术10次,失败2次,女性手术1200次,失败47次。问甲乙两个医生谁更优秀?

         单独来看就是就是一道算术题,确实也是。甲医生手术失败率=(3+39)/(16+1000),约等于4.1339%;乙医生手术失败率=(2+47)/(10+1200),约等于4.0496%。由于4.0496%小于4.1339%,所以这道题的答案是乙医生更优秀一些。

        不知道大家有没有结合这两道题来看,甲医生,男性手术16次,失败3次,失败率=3/16,约等于18.75%;女性手术1000次,失败39次,失败率=39/1000=3.9%。乙医生,男性手术10次,失败2次,失败率=2/10=20%;女性手术1200次,失败47次,失败率=47/1200,约等于3.92%。这时候,大家有没有察觉到什么?

        为什么甲医生在男女手术失败率上都比乙医生的低,但在整体上,甲的手术失败率却比乙的高?

        对于第一道题,我们习惯性将比较的对象统一。假设甲乙男性手术都是x次,女性手术都是y次(x,y都是大于1),这样就有18.75%x<20%x,且3.9%y<3.92%y。于是(18.75%x+3.9%)/(x+y)<(20%x+3.92%y)/(x+y)也成立。我们再将情况特殊化,x=y时,就是前面计算的方法。对于甲乙手术次数不相同的情况,我们忽略了。甲在男性手术失败率比乙的低,并且在女性手术失败率也比乙的低,潜意识地认为甲整体失败率肯定比乙低,理所当然是甲比较优秀。在甲乙手术次数不相同的情况下,甲乙谁更优秀就很难说,第二道题就是很好的例子。

        对于第二道题,毋庸置疑是乙医生更优秀。以乙医生为例,男性手术失败率为20%,女性手术失败率为3.92%。肯定的说乙的整体失败率为大于等于3.92%且小于等于20%。普遍来说,假设乙医生男性手术失败率为x(0<x<y<1),手术次数为a(a>=0);女性手术失败率为y,手术次数为b(b>=0)。那么乙的整体失败率=(ax+by)/(a+b);(ax+by)/(a+b)=(ax+bx+b(y-x))/(a+b)=x+(b(y-x)/(a+b))>=x;(ax+by)/(a+b)=((a+b)y+a(x-y))/(a+b)=y-(a(y-x)/(a+b))>=y。当a=0或b=0时,等号成立。当a=0且b=0时,乙就没有手术失败成功而言。总之,乙的整体失败率在x和y之间,包含x(当b=0时)和y(当a=0时),当a远远大于b时,整体失败率趋近于x;当a远远小于b时,整体失败率趋近于y。同样也适合甲医生,这样也就解释了甲医生在男女手术失败率上都比乙医生的低,但在整体上,甲的手术失败率却比乙的高。

        小结一下,对待把握性大的事情就多做;把握小性的事情就少做,甚至不做,这样做成功的事情的几率就很高。这也说明人的潜意识和直觉有时候也不靠谱。

        PS:

         后来,我发现先前对第一道题的分析确实有误,对园友们产生的误导感到抱歉。甲乙两位医生谁更优秀,应该在同一条件下进行比较,谁的整体手术失败率低谁更优秀。这样在男性(m次)和女性(n次)手术次数相同的情况下,甲医生的整体手术失败率=(18.75%m+3.9%n)/(m+n),乙医生的整体手术失败率=(20%m+3.92%n)/(m+n)。毋庸置疑,甲医生的整体手术率比乙的低。因此,甲更优秀。

         而就第二道题而言,在不同的手术次数下比较,条件不统一,甲乙医生两人之间没有谁更优秀而言。但还是可以分析出,甲医生在男女手术失败率上都比乙医生的低,但在整体上,甲的手术失败率却比乙的高。

         总结,之前已经分析出,整体失败率在男性手术失败率与女性手术失败率之间“浮动”,大于等于小者,且小于等于大者。而第二道题中甲医生在男女手术失败率上都比乙医生的低,但在整体上,甲的手术失败率却比乙的高。这是手术次数不同产生的特例。

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