Game One--点球
点球案例
在一次足球比赛罚点球时，罚球队员可以选择L,M,R三种不同射门路径；门将可以选择扑向左路或者右路（原则上讲他也可以守在右路）。
| direction | L | R |
|---|---|---|
| L | 4,-4 | 9,-9 |
| M | 6,-6 | 6,-6 |
| R | 9,-9 | 4,-4 |
Lesson:绝不选择在任何情况下都不是最佳反应的策略 当然这个缺少很多限制，所以结论并不准确。比如点球射门时，排除丢失的情况下，力度上升精度就会有所下降
最佳反应（经常缩写为(BR)）：
Player(i)选的的(si^*)策略就是对于其他博弈者选择(S-i)策略的最佳反应，其条件是(U_i)((Si^*))--博弈者i选择策略i而非(S-i)获得的收益比选择其他策略(即(Si'))更高时，此处所有的(Si')策略都适用于博弈者(i)
或者定义为：(Si^*)（Player(i)的策略）等于max (U_i)(s-(s_i)),即别人选择(S-i)时的最大收益
博弈者i的策略，对于其他博弈者的选择，所持有的信念P的最佳反应，条件是博弈者i在坚持信念(P)的情况下选择的期望收益大于选择其他策略---(E)((u_i))((si^*),(P)）(>=E)((u_i))((S-i),(p)）
期望收益=各项收益乘以对应概率 (E=)(X_i)*(P_i)（i~n）
合作关系博弈：两个人要为一个合办项目进行投资，届时将利润进行均摊。
转换为:
1. 两个代理人(博弈者)投资一个公司，没人分的50%利润，
同时每个代理人将根据自己的能力(努力程度)对公司进行投资
（S[0,4]代表贡献值，可以选择0~4这个闭区间之间任意的一个实数）
2. 利润公式为=4((s_1)+(s_2)+b(s_1)(s_2)),其中b为一个相关参数，假设b=[0,1/4],并且一已知。
3. 从公式2可以看出多人合作会有协同作用，收益加成
4. (U_1)（(S_1),(S_2)）=(1/2)((4)((s_1)+(s_2)+(b)(s_1)(s_2)))(-)(s_1^2),
其中S1^2是投资成本，即为投入部分
(U_2)（(S_1),(S_2)）=(1/2)((4)((s_1)+(s_2)+(b)(s_1)*(s_2)))(-)(s_2^2),
其中S1^2是投资成本，即为投入部分
对于Player2每种可能的选择(S_2)，如何找到Player1会做的和后最佳反应？
由于此时的策略有无穷个，所以需要微积分。
1.求(u_1)的最大值，对u1求导，且ui=0,此时s1为自变量
即(U_1)=2((s_1)+(s_2)+(b)(s_1)(s_2))(-)(s_1^2)=2((1+)(b)(s_2)()-)(2)(s_1)=0
即一阶导数为0，解的(s_1=1+b*s_2);
求二阶导数=-2<0，则可知所求为最大值.
则对s2的最佳反应为(BR(s_1)=1+b*s_2);
同理可得博弈者2对(s_1)的最佳反应为(BR(s_2)=1+b*s_1);
根据上述方程做出曲线可以得到博弈者1和博弈者2的最佳反应策略都在1~2之间，接着而删除了非最佳反应策略，重复画图（舍弃不是最佳反应的策略），最后最佳反应就会收敛于一个交集，即两者的交点,这个点叫做纳什均衡(Nash Equilibrium),简称NE,在这个点上，双方都采取最BR。
同时满足(BR(S_1))和(BR(S_2)),得到(s_1=s_2= 1/(1-b))，
结论：工作量减少了，效率反而降低了
理由：对自己的额外投资，需要承担所有的边际成本，但是却只能得到一半的利益，经济学上叫做"外部性"